在Python上无法准确计算圆周率

Question

我是新成员，我将直接着手处理它，因为我整个星期天都在尝试理解它。

我是Python的新手，先前学习了C ++编程的基本中级水平（这是一个10周的大学模块）。

我正在尝试几种迭代技术来计算圆周率，但两种方法都略有不准确，我不确定为什么。

第一种方法是我在大学里学到的-我相信你们中的一些人以前已经看过它。

x=0.0
y=0.0
incircle = 0.0
outcircle = 0.0
pi = 0.0
i = 0
while (i<100000):
    x = random.uniform(-1,1)
    y = random.uniform(-1,1)
    if (x*x+y*y<=1):
        incircle=incircle+1
    else:
        outcircle=outcircle+1
    i=i+1
pi = (incircle/outcircle)
print pi

这是一个在平面上生成随机（x，y）坐标的生成器，坐标轴范围为-1至+1。如果x ^ 2 + y ^ 2 <= 1，则我们知道该点位于坐标轴形成的正方形内的半径为1的圆内。

根据点的位置，计数器会增加incircle或outcircle的值。

然后，π的值是圆内和圆外的值之比。坐标是随机生成的，因此应该是均匀分布的。

然而，即使在非常高的迭代值下，我的Pi的结果始终在3.65左右。

第二种方法是另一种迭代方法，它计算具有增加边数的多边形的周长，直到多边形几乎成为一个圆形，然后，Pi =周长/直径。（我有点作弊，因为编码中有一个math.cos（Pi）项，所以看起来我正在使用Pi来找到Pi，但这只是因为你不能在Python上轻松地使用度来表示角度）。但即使进行高迭代，最终结果似乎也要在3.20左右，这也是错误的。代码在此处：

S = 0.0
C = 0.0
L = 1.0

n = 2.0
k = 3.0
while (n<2000):
    S = 2.0**k
    L = L/(2.0*math.cos((math.pi)/(4.0*n)))
    C = S*L
    n=n+2.0
    k=k+1.0

pi = C/math.sqrt(2.0)
print pi

我记得上C++课时，老师告诉我们这个问题很常见，并不是因为数学问题，而是代码中的某些东西导致的，但我记不清具体原因了。可能与随机数生成有关，或者使用浮点数的限制，或者……任何东西都有可能。甚至可能只是我的数学不行……

有人能想到问题出在哪里吗？

太长不看：尝试计算圆周率，无论我做多少次迭代，都不能精确地得到它。

(还有一点——在第二段代码中，有一行写着S=2.0 ** k。如果将“n”设置为2000以上，S的值就会变得太大，导致代码崩溃。我该怎么解决？)

谢谢！

- Stuart Aitken

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这是一个数学问题。蒙特卡罗方法给出的是 pi 的近似值，而不是 pi 本身。这个链接应该更准确：http://rosettacode.org/wiki/Pi#Python。 - Rolbrok

我也注意到Python在计算上有时候会稍微有些偏差。例如，当使用 tan(45) 度进行计算时，它返回的结果是0.99999...而不是1。 - Ashwin Gupta

@AshwinGupta 这不仅是Python的缺陷，而是任何实现浮点运算的语言都会有的问题。此外，tan（45）等于1。 - Reti43

你试过math.pi吗？ - Anthony Pham

@Reti43，我的错，我是指tan 45。打错了。 - Ashwin Gupta

顺便说一下，Python 内部使用 float64，其最大指数为 +307。这意味着您无法表示 2.0 ** 1024。 - Reti43

Answer 1

你的第一个版本的算法应该更像这样：

from __future__ import division, print_function

import sys
if sys.version_info.major < 3:
    range = xrange

import random 


incircle = 0
n = 100000
for n in range(n):
    x = random.random()
    y = random.random()
    if (x*x + y*y <= 1):
        incircle += 1
pi = (incircle / n) * 4
print(pi)

输出：

3.14699146991

这更接近了。增加n 可以使得逼近π的精度更高。

该算法仅考虑单位圆的一个象限，即半径为1的部分。

一个四分之一圆形面积的公式为：

area_c = (pi * r **2) / 4

对于包含该圆的正方形：

area_s = r **2

其中r为圆的半径。

现在的比率是：

area_c / area_s

替换上述方程式，重新排列即可得到以下结果:

pi = 4 * (area_c / area_s)

蒙特卡罗方法，只需用一个非常大的数字替换两个区域。通常使用随机投掷飞镖的类比。

- Mike Müller

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真糟糕，我刚想发布这个 : )。哦，不过反正我也不是 Python 的粉丝。 - Mike Wise

这是中间点数与所有点数之比的四倍，而不仅仅是外部点数...你应该提到这一点。 - Mike Wise

啊，好的，谢谢！我现在明白了。我承认我只是凭记忆（一年多以前）回顾了一下代码，并且相当愚蠢地没有停下来思考它背后的基本数学原理，似乎我认为它只是（内圆/外圆），但现在，在翻找一些旧文件并找到原始的C++代码之后，它确实使用了这里解释的方法。再次感谢。 - Stuart Aitken

Answer 2

首先，你需要进行如下计算：

pi = incircle/1000000*4  # 3.145376..

这是落在圆内的点数除以总点数的比例（在我的运行中约为0.785671）。

以半径1为例（random.uniform(-1,1)），总面积为4，因此如果将4乘以落在圆内的点数比例，就可以得到正确答案。

- Martin Konecny