两个四元数之间的“差异”

Question

我在使用Ogre工具，但是遇到了一个通用的四元数问题。

我有一个物体，最初应用了一个旋转四元数Q1。后来，我想让它看起来就像最初将对象按不同的四元数Q2进行了旋转。

我应该如何计算四元数，以便将已经通过Q1旋转的对象与Q2的初始/默认方向相对齐？我在研究（s）lerping算法，但我不确定这是否仅适用于定位而非旋转？

- Mr. Boy

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是否考虑将某些答案标记为正确答案？同时看一下数学溢出...（顺便说一句，四元数也让我十分疯狂，而且很抱歉我无法回答。） - John Nicholas

Answer 1

听起来你想要Q1乘以Q2的逆运算。通过Q1的逆变换可以将物体旋转回到其原始框架（即初始方向，正如你所说），然后通过Q2的变换将其旋转到新方向。

请注意，四元数的标准定义应用的是从右到左的乘法顺序，因此你需要计算为Q = Q2*Q1^{-1}。

- Jim

Answer 2

这样想一想：

QTransition * QInitial = QFinal

通过将两边乘以QInitial的逆（逆为四元数共轭），解出QTransition。

QTransition = QFinal * QInitial^{-1}

这就是那么简单。

- fbl

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这是重新提起一个旧话题，但为什么这是正确的呢？我可以通过代码验证它，但矩阵旋转似乎是相反的。例如，如果我想要移除MInitial，我会从左边用MInitial^-1乘以两边，因为MInitial^-1*MInitial = Midentity。 - Johan Holtby

四元数的“乘法”和矩阵乘法不同，它的顺序也不一样。在网上我找不到可靠的解释，但我知道这个问题在Kuipers的《Quaternions and Rotation Sequences》一书中有详细阐述。(http://www.amazon.com/Quaternions-Rotation-Sequences-Applications-Aerospace/dp/0691102988) - 我并不是说你应该购买那本书来证明这一点 (尽管那是一本好书)，但我就是从那里了解到矩阵和四元数运算顺序的不同。 - fbl

@Scott，我不确定我理解了你的意思。我绝对同意四元数乘法不是可交换的，但是四元数（与矩阵不同）从左到右工作，而不是从右到左。你能详细说明一下你的担忧吗？这个答案已经保持了11年，获得了24个赞同，并且与Jim的被接受的答案相匹配。此外，考虑到可能只有50个人真正关心四元数，我认为24个赞同已经很不错了 :) - fbl

@Scott 我写了一点Python来确认这个问题，从我所知道的来看，在这种情况下，无论你是在前面还是在后面乘以它，数值上都没有区别。qi * qt * conj(qi) 的结果与 conj(qi) * qi * qt 完全相同。实际上，它们都返回 qt。话虽如此，你的观点也是有道理的。一般来说，在等式的一侧左边乘以一个数，而在另一侧右边乘以一个数，是不能保持等式相等的。如果我指定你在等式的右侧两边都乘以 qi^-1，这样会让我的解释更清晰吗？ - fbl

@fbl qi * qt * conj(qi) 通常不会返回qt，请尝试更多的测试用例。如果您选择“好”的数字进行测试，那么很容易找到这样的例子。 （还要注意，对于单位四元数，q ^ -1仅等于conj（q），但这就是我们在此处使用的内容，因此没问题）。无论如何，您需要修复的只是将答案中的第一行更改为QTransition * QInitial = QFinal。 - Scott