处理负底数和非整数指数的幂函数

Question

无论是被称为Math.pow()还是pow()，许多语言（以及计算器）都有一些内置函数来计算浮点数（或双精度数）的x=a^b。特殊情况是a为负数且b不是整数。有些会返回NaN，有些会给出复杂结果（咳咳 Python）。但有些实际上能够给出实际结果，所以我想知道的是如何做到这一点。为了解释我的困惑：

假设b是有理数：b=c/d。现在我们看一下c和d的奇偶性：

- d为偶数：没有实数x-> NaN或错误 - d是奇数，c是偶数：正x - d是奇数，c是奇数：负x

浮点数存储在特定格式中，这意味着如果它被字面解释，它将始终是偶数d（实际上是2的幂）。由于这些信息在计算中丢失，无法知道c和d的实际奇偶性。只能猜测。

因此，我的猜测是-它试图找到一个接近于b的有理数c/d，其中d是奇数，且c和d都小于某个阈值t。更小的t意味着它可以更确定它是正确的，但它将在较少的数字上工作。如果成功，则使用c的奇偶性。否则，假装d是偶数。毕竟，浮点数可以是任何东西，数学库不想通过假设它可能不是有理数而给出可能错误的结果。

这只是我的猜测。如果有人真正看到了这些幂函数中的代码（或规范，也一样好），并能提供见解，那就太好了。

- user4159038

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如果您提供哪些语言和计算器“实际上能够给出真实结果”的示例，那将非常有帮助。我所知道的唯一一个是TI Nspire CX手持图形计算器，而且我相信德州仪器以保持其计算器源代码不公开而臭名昭著（尽管他们会公开一些使用计算器的软件）。 - Rory Daulton

对于非整数次幂，您会得到复数根；对于无理数次幂，您将得到无穷多个根。您可以使用数学恒等式来克服Math.pow的限制-请参见欧拉公式和De Moivre定理。 - meowgoesthedog

你能给出具体的例子吗？我觉得这个问题很困惑。正如所指出的，所有数字二进制浮点数都是有理数（即分数），其中 d 是偶数（即 2 的幂）。如果“奇偶性”指的是整数是奇数还是偶数的属性，那么我们就知道 d 是偶数，并且浮点数的位模式告诉我们 c 是奇数还是偶数。因此，我不理解“无法知道 c 和 d 的真实奇偶性，因为该信息已丢失”的说法。 - njuffa

如果你用它准确表示的分数替换一个浮点数，那么它要么是整数，要么分母必须是偶数，分子必须是奇数（思考简化）。因此，你不可能得到一个真实的结果返回... - aka.nice

请查看此链接 基于复数域数学的真实域幂。 - Spektre

Answer 1

首先看一下：负指数幂的平方法

现在假设一个情况：x^y，其中x<0，且y不是整数。如果你使用

x^y = exp2(y*log2(x))

如果你受到log2定义范围的限制，那么你将受到NaN或|x|^y的影响。如果你想要更好的结果，可以尝试将y分解为以下形式：

y = a/b

其中a，b为整数。如果可能（或应用四舍五入），则将问题更改为：

x^y = (x^a)^(1/b)

现在你可以处理更多的情况（正如你所建议的）：

1. 如果 a 是偶数，则子结果不再为负数，因为 x^a>=0，所以 (x^a)^(1/b)>=0
2. 如果 a,b 都是奇数，则结果为负数
3. 否则结果为 NaN 或使用 |x|^y

现在回到你的 float 问题，数字总是以这种形式出现：

y = mantissa*exp2(exponent)

所以是的，b 是偶数（除非 exponent!=0，这意味着数字是整数）。由于 mantissa 存储为整数，您可以通过检查其 LSB 来获得其奇偶性。不要忘记，在 floats 中，MSB 缺失并且始终应该是 1，除非存在像非规格化或 Nan/Inf 数字这样的特殊情况。

- Spektre

Answer 2

如果你准备作弊，这里是如何将负数提高到任意幂的方法：

x^(b/c)=x^(2b/2c)=(x^2b)^(1/2c)

x^2b 是正数，所以取 2c 次方根没有问题

- aka.nice

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你的代码没有找到实数x的正确幂，而是找到了|x|的幂。这不是同一件事。例如，你的代码声称(-1)^(1/3)是1，但它应该给出-1（正如OP想要的）或者1/2 + sqrt(3)/2*j（正如Python近似返回的）。 - Rory Daulton

当然，这就是为什么它被称为作弊 ;) 这个愚蠢的回答的灵感来自于浮点数有效数字奇偶性的论文：一旦分数被约分，分子将是奇数（除非浮点表示是整数）。此外，将其提高至分数的定义有些随意。 - aka.nice