在三维空间中向移动目标发射直线轨迹的弹丸

Question

在三维空间中向移动目标发射直线轨迹的弹丸

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我已经在Google上搜寻了这个问题，但只找到了2D的解决方案或者对我不起作用的公式（发现了一个看起来很好的公式：http://www.ogre3d.org/forums/viewtopic.php?f=10&t=55796，但似乎不正确）。

我已经给出：

Vec3 cannonPos;
Vec3 targetPos;
Vec3 targetVelocityVec;
float bulletSpeed;

我所寻找的是时间t，使得

targetPos+t*targetVelocityVec

这是瞄准并射击大炮的交点。

我正在寻找一个简单、廉价的公式来计算t值（简单意味着不进行多余的向量空间转换等操作）。

谢谢！

- Mat

考虑到弹丸沿直线轨迹运动，使得这个问题变得相当无聊 :-( - salva

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- Emil H · Accepted Answer

实际问题在于找出子弹可以与目标路径相交的空间位置。子弹速度恒定，因此在一定时间内，无论我们以何种方向发射它，它将行驶相同的距离。这意味着它在时间t之后的位置始终位于一个球体上。这是一个丑陋的2D示意图：

该球体可以用以下数学公式表示：

(x-x_b0)^2 + (y-y_b0)^2 + (z-z_b0)^2 = (bulletSpeed * t)^2      (eq 1)

x_b0、y_b0和z_b0表示火炮的位置。您可以使用问题中提供的方程式解出时间t，具体方法是解这个方程式：

targetPos+t*targetVelocityVec                                   (eq 2)

(eq 2)是一个向量方程，可以分解成三个单独的方程：

x = x_t0 + t * v_x
y = y_t0 + t * v_y
z = z_t0 + t * v_z

这三个公式可以插入到(eq 1)中：

(x_t0 + t * v_x - x_b0)^2 + (y_t0 + t * v_y - y_b0)^2 + (z_t0 + t * v_z - z_b0)^2 = (bulletSpeed * t)^2

这个方程只包含已知变量，可以解出 t。通过将二次子表达式的常数部分赋值给常数，我们可以简化计算：

c_1 = x_t0 - x_b0
c_2 = y_t0 - y_b0
c_3 = z_t0 - z_b0
(v_b = bulletSpeed)

(t * v_x + c_1)^2 + (t * v_y + c_2)^2 + (t * v_z + c_3)^2 = (v_b * t)^2

将其重新排列为标准二次方程：

(v_x^2+v_y^2+v_z^2-v_b^2)t^2 + 2*(v_x*c_1+v_y*c_2+v_z*c_3)t + (c_1^2+c_2^2+c_3^2) = 0

使用标准公式可以轻松解决这个问题。它可能有零、一个或两个解。零解（不计算复数解）意味着没有可能让子弹到达目标。当目标轨迹与球体的边缘相交时，很少会出现一个解的情况。两个解将是最常见的情况。负解意味着你无法击中目标，因为你需要向过去开火。这些都是你需要检查的条件。

当你解出方程后，可以通过将它放回（eq 2）来找到t的位置。伪代码如下：

# setup all needed variables
c_1 = x_t0 - x_b0
c_2 = y_t0 - y_b0
c_3 = z_t0 - z_b0
v_b = bulletSpeed
# ... and so on

a = v_x^2+v_y^2+v_z^2-v_b^2
b = 2*(v_x*c_1+v_y*c_2+v_z*c_3)
c = c_1^2+c_2^2+c_3^2

if b^2 < 4*a*c:
    # no real solutions
    raise error

p = -b/(2*a)
q = sqrt(b^2 - 4*a*c)/(2*a)

t1 = p-q
t2 = p+q

if t1 < 0 and t2 < 0:
    # no positive solutions, all possible trajectories are in the past
    raise error

# we want to hit it at the earliest possible time
if t1 > t2: t = t2
else: t = t1

# calculate point of collision
x = x_t0 + t * v_x
y = y_t0 + t * v_y
z = z_t0 + t * v_z