如何在Mathematica中数值计算二重积分？

Question

如何在Mathematica中进行数值计算的双重积分？

Integrate[Exp[-0.099308 s]
       * Integrate[Exp[0.041657423 u] Exp[-3.1413 s + 3.12 u]
             * ((u/(s - u))^(1/2) BesselI[1,2 (u (s - u))^(1/2)]
             + 0.293 BesselI[0,2 (u (s - u))^(1/2)]),{u,0,s}],{s,0,10}]

- h02h001

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可能是如何在MATLAB中数值计算双重积分？的（近）重复。 - High Performance Mark

一个Mathematica问题怎么可能是Matlab问题的副本？这就像Java问题和C#问题一样。 - Verbeia

@Verbeia 你说得有道理，但是OP问如何在两种语言中处理相同的积分。 - rcollyer

Answer 1

有两件事情。首先，Integrate接受多个“迭代器”，即{x, x1, x2}，因此您可以在不嵌套它们的情况下指定多重积分，如下所示：

Integrate[x y, {x, 0, 1}, {y, 0, x}]

在由y == x、x == 0和x == 1所限定的三角形上对x y进行积分。注意，极限的顺序是从外到内，因此积分是从右到左进行的。然后，你的积分变为

Integrate[Exp[-0.099308 s] Exp[0.041657423 u] Exp[-3.1413 s + 3.12 u]
   * ((u/(s - u))^(1/2) BesselI[1,2 (u (s - u))^(1/2)]
   + 0.293 BesselI[0,2 (u (s - u))^(1/2)]),
 {s,0,10}, {u,0,s}]

其次，Mathematica有许多与标准算法相对应的数值算法，如NSolve、NDSolve、NSum和NIntegrate等。它们都以前缀N开头，这也是一个函数。这些函数的好处在于它们具有与它们的解析等价物相同的签名。因此，要进行数值积分，您只需将Integrate更改为NIntegrate，如下所示：

NIntegrate[Exp[-0.099308 s] Exp[0.041657423 u] Exp[-3.1413 s + 3.12 u]
   * ((u/(s - u))^(1/2) BesselI[1,2 (u (s - u))^(1/2)]
   + 0.293 BesselI[0,2 (u (s - u))^(1/2)]),
 {s,0,10}, {u,0,s}]

这会得到27.4182，正如tkott所指出的那样，但没有生成任何警告。

- rcollyer

Answer 2

如果您想在Mathematica中进行数值积分，应该使用NIntegrate。这将给您一个数值近似而不是确定积分。

NIntegrate[ Exp[-0.099308*s]*
  NIntegrate[Exp[0.041657423*u]*(Exp[-3.1413*s + 3.12*u])*((u/(s - u))^(1/2)*
       BesselI[1, 2*(u*(s - u))^(1/2)] + 0.293*BesselI[0, 2*(u*(s - u))^(1/2)])
  , {u, 0, s}]
, {s, 0, 10}]

它抱怨因为内部积分首先被评估，而且没有指定s就无法进行评估，但是会给出

27.4182

不知道这是否正确！

顺便说一句：您可能会在https://mathematica.stackexchange.com/上获得更好的回应。

- tkott