为什么Numpy矩阵乘法操作被称为“点乘”？

Question

我有些困惑于Numpy函数dot的命名：https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.13.0/reference/generated/numpy.dot.html

看起来这是Numpy中用于执行矩阵乘法的函数。然而，“点积”是另一种不同的运算，它从两个向量中产生单个标量：https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

有人能解决这两种用法中“点”这个术语的歧义吗？

- Stephen

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为什么要给函数命名？你认为有答案吗？最可能的是你喜欢它，函数的名称不必有任何依据，如果你想知道原因，最好写封电子邮件给numpy开发人员询问，因为他们是唯一知道原因的人。 - eyllanesc

矩阵乘积中每个元素都是来自输入的相应行和列的点积。 - Mad Physicist

np.dot 在输入为一维数组时会产生标量。传统的矩阵乘法适用于二维数组。但对于三维或混合维度，有什么定义和名称呢？这里有一个新名称 - np.matmul。为了更大的通用性，还有Einstein符号，即np.einsum。 - hpaulj

对于n和m维数组或张量N和M，N.dot(M)的维度将为(n + m - 2)（因为N的第一维和M的最后一维将被求和）。当n = m = 1时，输出是一个0维张量或标量，这被称为“标量积”。当n = m = 2时，输出是一个2维张量或矩阵，这个操作被称为“矩阵乘法”。当n = 2, m = 1时，输出是一个1维张量或向量，这被（至少由我的教授）称为“映射”。 - Daniel F

此外，这远非基于观点的问题，因为点积（“内积”）和点表示法在数学上是明确定义的，而提问者似乎只是不知道完整的定义。 - Daniel F

Answer 1

常见的乘法写法是使用一个居中的点：中间点号：

A⋅B

这个名称几乎肯定来自于这种表示法。实际上，Unicode的“数学运算符”块下有一个专门的代码点名为“DOT OPERATOR”：chr(0x22c5)。注释中提到：

...用于表示乘法

关于这个评论：

然而，“点积”是另一回事，它从两个向量中产生单个标量

它们并不完全无关！在二维矩阵乘法A⋅B中，结果中位置(i,j)的元素来自于行i与列j的点积。

- wim

Answer 2

“点积”或“内积”在张量代数中与线性代数相比有更广泛的定义。

对于n维和m维张量N和M，N⋅M的维度将为(n + m - 2)，因为乘法后将对“内部维度”（N的最后一个维度和M的第一个维度）进行求和。

（顺便说一句，N.dot(M)实际上对N的最后一个维度和M的倒数第二个维度进行求和，因为……原因。实际的张量代数“点积”功能被分配给np.tensordot）

对于n = m = 1（即两个1维张量或“向量”），输出是一个0维张量或“标量”，这等同于线性代数中的“标量”或“点积”。

对于n = m = 2（即两个2维张量或“矩阵”），输出是一个2维张量或“矩阵”，操作等同于“矩阵乘法”。

对于n = 2，m = 1，输出是一个1维张量或“向量”，这被称为（至少由我的教授们称之为）“映射”。

请注意，由于维度的顺序对内积的构造很重要，因此……

N.dot(M) == M.dot(N)

一般情况下，除非n = m = 1（即标量积的情况下），否则通常不为True。

- Daniel F