当给定一些数字组时，如何找到最小的一组来代表所有数字？

Question

当给定一些数字组时，我该如何找到覆盖所有数字的最小组合？限制是所选组不应重叠。

例如，给定三组数字(1,2),(2,3)和(3,4)，我们可以选择(1,2)和(3,4)，因为(2,3)是多余的。

对于(1,2),(2,3),(3,4),(1,4)，我们有两个解决方案：(1,2),(3,4)或(1,4),(2,3)。

对于(1,2,3),(1,2,4)和(3,4)，存在冗余，但没有解决方案。

我想到的算法（以G = (1,2),(2,3),(3,4),(1,4)为例）是：

collect all the numbers from the groups x = (1,2,3,4)
for g in G:
       x = remove g in x # x = (3,4)
       find G' = (a set of (g' in (G - g))) that makes (G' + g = x) # G' = ((3,4))
       if find (G' + g) return (G',g) # return ((1,2)(3,4))

我知道我的算法在性能方面存在很多漏洞，我猜想这可能是一个众所周知的问题。有什么提示可以解决这个问题吗？

- prosseek

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这是一个经典的NP完全问题：http://en.wikipedia.org/wiki/Set_cover_problem。 - zch

这实际上是一个非常难的NP完全问题。在最坏的情况下，您将无法比指数时间的暴力算法更好地测试组之间的所有可能组合。 - hugomg

@Karoly Horvath：约束条件是所选组（1、2、3）和（3、4）不应重叠。我更新了帖子以使其更清晰。 - prosseek

使用 (1,2,3), (1,2,4), (3,4) 存在冗余，但没有解决方案。 - user2357112

有了非重叠约束条件，它就是精确覆盖，也是NP完全问题。参考页面指向Knuth的X算法。 - Patricia Shanahan

Answer 1

我在这个网站上找到了一段可用的Python代码：http://www.cs.mcgill.ca/~aassaf9/python/algorithm_x.html

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Y = {
    'A': [1, 4, 7],
    'B': [1, 4],
    'C': [4, 5, 7],
    'D': [3, 5, 6],
    'E': [2, 3, 6, 7],
    'F': [2, 7]}

def solve(X, Y, solution=[]):
    if not X:
        yield list(solution)
    else:
        c = min(X, key=lambda c: len(X[c]))
        for r in list(X[c]):
            solution.append(r)
            cols = select(X, Y, r)
            for s in solve(X, Y, solution):
                yield s
            deselect(X, Y, r, cols)
            solution.pop()

def select(X, Y, r):
    cols = []
    for j in Y[r]:
        for i in X[j]:
            for k in Y[i]:
                if k != j:
                    X[k].remove(i)
        cols.append(X.pop(j))
    return cols

def deselect(X, Y, r, cols):
    for j in reversed(Y[r]):
        X[j] = cols.pop()
        for i in X[j]:
            for k in Y[i]:
                if k != j:
                    X[k].add(i)

X = {j: set(filter(lambda i: j in Y[i], Y)) for j in X}                    
a = solve(X, Y)
for i in a: print i

- prosseek