在R中，为什么all(numeric(0))返回TRUE，而any(numeric(0))返回FALSE？

Question

我试图生成一个序列的索引，其中连续的1出现在向量中，但我遇到了这个奇特的情况。为什么说是奇特的呢？因为我不明白当all()返回TRUE时意味着每个值都是TRUE，所以any()也应该返回TRUE，但在这里并非如此。

all(numeric(0))
# [1] TRUE
any(numeric(0))
# [1] FALSE

我发现大多数问题都涉及比较numeric(0)和数字以及如何避免生成numeric(0)

- SKR

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请参阅?all中的“注”部分以获取有关此内容的一些信息。 - Marius

@Marius 再次提醒，运行 ?any 显示相同的语言。我认为我们需要查看源代码才能回答这个问题。 - Tim Biegeleisen

@Marius，我实际上是在询问关于all(numeric(0))的情况，但在?all中并没有提到。R是否将numeric(0)和logical(0)视为不同的类型？ - SKR

numeric(0) 会被强制转换为 logical(0)，因此它们应该被视为相同。我还应该提到，我并不打算将 ?all 中的细节视为问题的答案，而只是作为一个起点 - 因此发布为评论。 - Marius

?all 表示：“返回的结果为 TRUE[...]（即使没有值）”。?any 表示：“返回的结果为[...] FALSE[...]（即使没有值）”。这就是这两个函数的定义方式。至于它们被定义为这样的原因，我认为这样可以确保 R 中的其他操作按照预期进行。 - neilfws

Answer 1

由于我的评论被投票为答案，我将在此发布它。

文档?all指出（仅显示相关部分）：

返回的值为TRUE[...]（包括如果没有值）

而对于?any，同样只是相关部分：

返回的值是[...]FALSE[...]（包括如果没有值）

这些函数是这样定义的，以使其他操作按预期工作。 尤其是正如@bmrn所指出的：all(all(x), all(y)) == all(x, y)。

- neilfws

Answer 2

类似的现象也出现在 min 和 max 中：

> min(numeric(0))
[1] Inf
#but
> max(numeric(0))
[1] -Inf

这两个计算会触发警告，但不会出错。重要的问题是它们返回所返回值的原因。为了回答这个问题，请注意另一个有限集合的最小值的名称是其最大下界。对于空集合，任何东西都是下界，因此没有有限数是最大下界，因此被定义为无穷大。对于最大值也适用类似的推理，因为它是最小上界。

在格论的意义下，空集合的join（最小上界）的唯一合理定义是成为格的底部元素，meet（最大下界）则是成为格的顶部元素。在扩展实数的情况下，这些顶部和底部元素分别是Inf和-Inf。

这个和 any 以及 all 之间的关系相当直观： all 实际上就是对真值应用了 min。它是一个 meet 运算符，当应用于空集时应该给出格子的顶部，即在真值格子中为 TRUE。同样地，any 基本上就是对真值应用了 max。它是一个 join 运算符，当应用于空集时应该给出格子的底部元素，即在真值格子中为 FALSE。

- John Coleman