如何绘制绕着圆形抛物面的螺旋线

Question

我有一个三维圆形抛物面，我想绘制一个螺旋线，从表面上的任意一点开始下降，同时“贴着”表面。

这是我迄今为止的尝试：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection='3d')

# Surface ------------------
# Create the mesh in polar coordinates and compute corresponding Z
r0 = 5
r = np.linspace(0, r0, 50)
p = np.linspace(0, 2*np.pi, 50)
R, P = np.meshgrid(r, p)
Z = -R**2 + r0**2

# Express the mesh in the cartesian system
X, Y = R*np.cos(P), R*np.sin(P)

# Plot the surface
ax.plot_surface(X, Y, Z, linewidth=0, antialiased=False, alpha=0.2)

# Spiral -------------------
u = np.arange(0, 29, 0.1)
x = 0.17*u*np.cos(u)
y = 0.17*u*np.sin(u)
z = -0.15*u/np.pi*(x**2 + y**2) + r0**2

# Plot spiral
ax.plot3D(x, y, z, 'r')

plt.show()

然而，我的螺旋实际上并没有遵循表面。

我也尝试过这个：

x = []
y = []
z = []
for i in range(50):
    x.append(X[i,i])
    y.append(Y[i,i])
    z.append(-(X[i,i]**2 + Y[i,i]**2) + r0**2)
ax.plot3D(x, y, z, 'b')

它正在表面周围转圈，但我不知道如何让它在表面上做更多的圆。有什么想法吗？

- eln

Answer 1

第二次尝试中的公式是正确的。如果我在您的第一次尝试中使用相同的公式，我就能理解您想要什么。

需要将行z = -0.15*u/np.pi*(x**2 + y**2) + r0**2替换为-(x**2 + y**2) + r0**2。

为了可重复性：

%matplotlib notebook
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection='3d')

# Surface ------------------
# Create the mesh in polar coordinates and compute corresponding Z
r0 = 5
r = np.linspace(0, r0, 50)
p = np.linspace(0, 2*np.pi, 50)
R, P = np.meshgrid(r, p)
Z = -R**2 + r0**2

# Express the mesh in the cartesian system
X, Y = R*np.cos(P), R*np.sin(P)

# Plot the surface
ax.plot_surface(X, Y, Z, linewidth=0, antialiased=False, alpha=0.2)

# Spiral -------------------
# Attempt 1
u = np.arange(0, 29, 0.1)
x = 0.17*u*np.cos(u)
y = 0.17*u*np.sin(u)
z = -(x**2 + y**2) + r0**2
# z = -0.15*u/np.pi*(x**2 + y**2) + r0**2
# Plot spiral
ax.plot3D(x, y, z, 'r')


plt.show()

输出如下：

- lifezbeautiful

Answer 2

你的抛物面的隐式方程是

z = a - b r²

使用 r² = x² + y²。

因此，对于任何以极坐标给出的曲线

r = f(Θ)

抛物面中的嵌入是

x = r cos(Θ)
y = r sin(Θ)
z = a - b r²

您可以通过使用nΘ而不是Θ作为三角函数的参数来调整旋转次数。

- user21508463