如果浮点数范围更大，那么通过浮点数进行往返转换是否总是有定义行为？

Question

假设我有两个算术类型，一个整数类型 I 和一个浮点类型 F。我还假设 std::numeric_limits::max() 小于 std::numeric_limits::max()。

现在，假设我有一个正整数值 i。由于 F 的可表示范围大于 I，F(i) 应该总是有定义的行为。

然而，如果我有一个浮点值 f，使得 f == F(i)，那么 I(f) 是否被良好定义？换句话说，I(F(i)) 是否总是有定义的行为？

相关部分摘自 C++14 标准：

4.9 浮点-整数转换 [conv.fpint] 1. 浮点类型的 prvalue 可以转换为整数类型的 prvalue。转换将截断；也就是说，小数部分被丢弃。如果截断后的值无法在目标类型中表示，则行为未定义。[注：如果目标类型是 bool，请参见 4.12。--end note] 2. 整数类型或未作用域枚举类型的 prvalue 可以转换为浮点类型的 prvalue。如果可能，结果是精确的。如果要转换的值在可以表示的值范围内，但不能准确地表示该值，则实现可以选择下一个更低或更高的可表示值。[注：如果整数值不能准确地表示为浮点类型的值，则会发生精度损失。--end note]如果要转换的值超出了可以表示的值范围，则行为未定义。如果源类型是 bool，则将值 false 转换为零，将值 true 转换为一。

- orlp

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您IP地址为143.198.54.68，由于运营成本限制，当前对于免费用户的使用频率限制为每个IP每72小时10次对话，如需解除限制，请点击左下角设置图标按钮（手机用户先点击左上角菜单按钮）。 - T.C.

假设 I 和 F 具有相同的大小，比如32位。然后取最大的整数。它必然会转换成类型为 F 的值，但会有损失。如果所选的可表示值大于下一个整数，则转换回来会导致未定义行为。 - Kerrek SB

@orlp - Steve的资源几乎不相关。主流计算机使用32位和64位二进制补码算术和32位和64位IEEE浮点数。假设C++标准委员会写了一个在这些机器上无法实现的要求。那些委员会成员将被迅速替换为更明智的代表（并且标准将被重新编写）。 - David Hammen

可能在答案中没有提到，所以我要补充一下：它不取决于浮点类型的范围，而是精度。IEEE float 的范围与整数的范围相比巨大，但它只有23位的尾数，这意味着在指数高于23时，它将无法表示所有整数（甚至近似）。第一个这样的值将是 2^24 + 1，它位于 (1 + 0/2^23) * 2^24 和 (1 + 1/2^23) * 2^24 之间。double 可以正确舍入到任何32位整数（但不能舍入到任何64位整数）。 - Wug

@orlp 这是与您问题相关的重要信息。我以“评论”的形式发布它是有原因的。我相信在这种情况下，有人可能会发现它很有用。 - Steve

Answer 1

然而，如果我有一个浮点值f使得f == F(i)，那么I(f)是否定义良好？换句话说，I(F(i))的行为是否总是定义良好的呢？不是。假设I是带符号的二进制补码32位整数类型，F是32位单精度浮点类型，并且i是最大正整数。这在浮点类型范围内，但它不能被表示为浮点数。其中一些32位用于指数。相反，从整数到浮点数的转换取决于实现，但通常是通过四舍五入到最接近的可表示值来完成的。该四舍五入后的值超出了整数类型的范围。将其转换回整数会失败（更好地说，这是未定义的行为）。

- David Hammen

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小小的挑剔。 “相反，从整数到浮点数的转换四舍五入到最接近的可表示值。”这并不保证。它将是相邻的表示，而不是最接近的一个。 - orlp

从技术上讲，这不是未定义行为，而是实现定义行为（因为它取决于使用的浮点类型的语义，这些语义是实现定义的）。 - Wug

@Wug 这取决于实现，它可能是未定义的，也可能不是 :) - orlp

@orlp - 编辑。从整数到浮点数的转换是实现相关的（也与应用程序相关；应用程序可以使用IEEE浮点数控制舍入）。如果该实现相关的转换使得浮点值超出了整数类型的范围，则将其转换回整数的行为是未定义的。 - David Hammen

@DavidHammen 我非常清楚，看看我的答案。我只是吹毛求疵 :) - orlp

Answer 2

不管标准如何，你不能指望这种转换通常会返回原始整数。从数学上讲，这是没有意义的。但是如果你仔细阅读你引用的内容，标准清楚地指出了从int到float转换可能会丢失精度。

假设你的类型I和F使用相同数量的位。 I的所有位（除了可能存储符号的一位）都用于指定数字的绝对值。另一方面，在F中，一些位用于指定指数，一些位用于指定有效数字。由于可能的指数，范围将更大。但是有效数字的精度将更低，因为有较少的位用于其规格说明。

只是作为一个测试，我打印了

std::numeric_limits<int>::max();
std::numeric_limits<float>::max();

我将第一个数字转换为浮点数，然后再转回去。最大的浮点数指数为38，而最大的整数有10位数字，因此浮点数的范围更大。但是，当我将最大整数转换为浮点数并再次转换时，我从2147473647变成了-2147473648。因此，这个数字增加了一个单位并绕到了负面。

我没有检查我的系统实际上使用了多少位浮点数，但它至少证明了精度的损失，并显示了gcc的“四舍五入”。

- Jim Vargo

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我从未要求原始整数值。我只是问转换是否定义良好。 - orlp

Answer 3

不。

可能会出现i == std::numeric_limits<I>::max()的情况，但是i在F中不能完全表示。

如果要转换的值在可表示的值范围内，但无法准确表示该值，则可以选择下一个较低或较高的可表示值，这是实现定义的选择。

由于可能选择下一个较高的可表示值，所以结果F(i)可能不再适合I，因此进行反向转换将导致未定义行为。

- orlp