我正在重新观看SICP的一些早期讲座。固定点的概念有点令我困惑。固定点过程：我应该这样考虑它，“这是找到给定函数的固定点的方法。”那么，如果给定
另外，在this lecture中为什么要声明一个将映射到
f（2）= 2呢？另外，在this lecture中为什么要声明一个将映射到
x / y的新函数y是一个固定点？固定点是什么？
4
- runners3431
1
相关：对于固定点组合子Y，\x.f(xx)是什么？ - toraritte
4个回答
2
根据维基百科上的数学中的不动点（Fixed point (mathematics) on Wikipedia）：
在数学中，函数的一个不动点（有时缩写为fixpoint，也称为不变点）是指函数定义域中的一个元素，通过该函数映射到其自身。
因此，正如你所写的，
在数学中，函数的一个不动点（有时缩写为fixpoint，也称为不变点）是指函数定义域中的一个元素，通过该函数映射到其自身。
因此，正如你所写的，
f(2) = 2 表明 2 是函数 f 的一个不动点。- Justin Ethier
4
所以如果我计算 x / y 的定点值，我使用 X / Y 的新值，并将其重新插入到我的定点过程中。它最终会变成0吗？这就是为什么它是一个定点的原因吗？ - runners3431
y = x / y2 = 2 / 1 -> 步骤1 让y = 2
1 = 2 / 2 -> 让y = 1
2 = 2 / 1 - runners3431
@runners3431，你能把问题表述得更清楚一些吗？表达式“x / y”有两个变量。你可以谈论一个变量函数的固定点。其中一个变量
x和y应该是常数吗？ - Joshua Taylor刚刚将其添加到主要描述中。 - runners3431
2
Just Ethier's answer讲解了什么是不动点，但这仍然留下了你问题的另一部分：
引用： 也就是说，为什么新函数y映射到x / y是一个不动点？
讲师在你提到的那个地方说话很快，但我认为他实际上是在说√x是不止一个函数的不动点，而且一个明显的函数，其中√x是不动点，就是
y↦x/y
因为
√x = x / √x
然而，给定的计算不动点的过程对于这个函数不起作用，因为它的内部过程
引用： 也就是说，为什么新函数y映射到x / y是一个不动点？
讲师在你提到的那个地方说话很快，但我认为他实际上是在说√x是不止一个函数的不动点，而且一个明显的函数，其中√x是不动点，就是
y↦x/y
因为
√x = x / √x
然而，给定的计算不动点的过程对于这个函数不起作用，因为它的内部过程
iter在初始值和应用于初始值的函数上循环。因此，新/旧值序列为(1,2)，(2,1)，(1,2)，...- Joshua Taylor
3
Joshua，我知道这是一个老问题，但是你能否详细说明一下“因此新/旧值的序列为(1,2),(2,1),(1,2)…”？我理解（至少我认为是这样）
√x=x/√x映射到自身，从而进入无限循环（即我们将无法通过替换得到√x的定义，因为√x包含在定义中）。但我很难理解(1,2),(2,1),(1,2),…来自哪里。 - user85547662如视频中 @FilippW. 讲师所说，如果我们使用
g(y) = x / y 并通过重复应用 g 来计算值的处理过程，从 1 开始; 在情况 x = 2 的情况下，我们得到：g(1) = 2; g(2) = 1; g(1) = 2 再次循环，整个过程只是“振荡”-在这两个值之间循环。而“do-until”过程则使用它们的一对 - g 的参数和其结果。 - Will Ness@WillNess，很高兴再次看到您的留言 =）一如既往的精彩解释，现在我懂了！非常感谢！ - user8554766
1
这是我的看法。它确实可能会让人感到困惑。
首先，简单地定义：如果f(x) == x，则点x是函数f的“不动点”。
换句话说，x = f(x)。
上述内容有任何意义吗？似乎不太可能。毕竟，它使用了正在定义的值。
但是，x不一定是一个简单的数字。它可以是一个函数或一个懒惰的无限列表，并且f可以部分地定义它。然后，通过重复评估...
价值越来越被定义。现在这确实让我们想起了通过迭代计算计算固定点
关键的部分不是等待无限的评估链完成（它永远不会完成），而是拥有一个惰性列表记录评估步骤的进展。然后，我们的值——无限列表正在逐步定义：首先它根本没有定义；然后它的第一个（头）元素被定义，其余部分仍未定义；然后定义了它的前两个元素；等等等等：
就像数值正在收敛到某个数字，越来越接近“最终”值（虽然从未真正达到，但距离越来越小），无限结果列表也正在收敛到其最终值，即具有所有元素定义的完全定义的无限列表（当然，这是一项相当不可能的壮举），在“定义度”上越来越接近该最终值（简单地说，一个接一个地定义其元素，但数学家喜欢把它弄得复杂）。
同样的，对于函数也是如此。如果
首先，简单地定义：如果f(x) == x，则点x是函数f的“不动点”。
换句话说，x = f(x)。
上述内容有任何意义吗？似乎不太可能。毕竟，它使用了正在定义的值。
但是，x不一定是一个简单的数字。它可以是一个函数或一个懒惰的无限列表，并且f可以部分地定义它。然后，通过重复评估...
x = f(x) = f( f(x)) = f( f( f(x))) = f( f( f( f(x)))) = ....
价值越来越被定义。现在这确实让我们想起了通过迭代计算计算固定点
f(y) = (y + n/y)/2 的数字示例。n=25; f(1.0)=13.0; f(13.0)=7.4615383; f(7.4615383)=5.406027;
f(5.406027)=5.0152473, f(5.0152473)=5.0152473; f(5.0152473)=5.0
关键的部分不是等待无限的评估链完成（它永远不会完成），而是拥有一个惰性列表记录评估步骤的进展。然后，我们的值——无限列表正在逐步定义：首先它根本没有定义；然后它的第一个（头）元素被定义，其余部分仍未定义；然后定义了它的前两个元素；等等等等：
[1.0,13.0,7.4615383,5.406027,5.0152473,5.000023,5.0,5.0,5.0 ...]。就像数值正在收敛到某个数字，越来越接近“最终”值（虽然从未真正达到，但距离越来越小），无限结果列表也正在收敛到其最终值，即具有所有元素定义的完全定义的无限列表（当然，这是一项相当不可能的壮举），在“定义度”上越来越接近该最终值（简单地说，一个接一个地定义其元素，但数学家喜欢把它弄得复杂）。
同样的，对于函数也是如此。如果
g(h,n) = n<2 -> 1 ; else -> n*h(h,n-1)，那么g(error)是一个柯里化的单参数函数，仅在n < 2时定义，因为对于任何其他参数，它都会发散（引起错误）。但是g(g(error))对于所有的n < 3是有定义的；g(g(g(error)))对于所有的n < 4是有定义的，以此类推。我们又一次有了越来越多被定义的数值序列……因此，该序列的极限值，即“最终值”，函数g的不动点是这样一个函数f，满足f = g(f)，可以为任何的n进行定义，无论其大小。巧合的是，这是一个阶乘函数，没有使用递归定义。- Will Ness
1
当你在迭代函数中得到与上次相同的结果时，就会出现这种情况。为了理解这一点，想象一个已知序列的普通函数：
想象函数 f(x) = 2^(n+1)-1。它被称为 Mersenne 序列，你应该从 0 开始输入索引，它将生成序列 1, 3, 7, 15, 31, ... (基本上每个 2 的幂次方减 1)
现在你可以通过将函数变成迭代形式来生成相同的序列。迭代版本是 f(x) = 2x + 1。现在 x 不再是索引，而是前一个结果。你从 0 开始，并得到 1, 3, 7, 15, 31, ...
现在这个函数没有固定点，因为应用它的结果总是大于它的参数。我们可以说它会爆炸。
回答你的第一个问题。在SICP视频中，他们谈论了平方根。n的平方根是迭代函数f(x) = n/x的不动点，因为sqrt(x^2) = x它不映射到其他函数。
一个一般的不动点函数就像他们定义的不动点，即你迭代一个函数直到你输入的值等于（或足够接近）下一个计算出的数字。
现在我们看到，我们无法从Mersenne找到一个不动点，我们知道我们需要平均阻尼n/x使其收敛，但有些函数实际上可以自行收敛，比如f(x) = x/4 + 1收敛到3/2。请注意，即使你将其平均阻尼，它仍将变为3/2，因此只有没有不动点的函数才会永远循环。
想象函数 f(x) = 2^(n+1)-1。它被称为 Mersenne 序列，你应该从 0 开始输入索引，它将生成序列 1, 3, 7, 15, 31, ... (基本上每个 2 的幂次方减 1)
现在你可以通过将函数变成迭代形式来生成相同的序列。迭代版本是 f(x) = 2x + 1。现在 x 不再是索引，而是前一个结果。你从 0 开始，并得到 1, 3, 7, 15, 31, ...
现在这个函数没有固定点，因为应用它的结果总是大于它的参数。我们可以说它会爆炸。
回答你的第一个问题。在SICP视频中，他们谈论了平方根。n的平方根是迭代函数f(x) = n/x的不动点，因为sqrt(x^2) = x它不映射到其他函数。
一个一般的不动点函数就像他们定义的不动点，即你迭代一个函数直到你输入的值等于（或足够接近）下一个计算出的数字。
现在我们看到，我们无法从Mersenne找到一个不动点，我们知道我们需要平均阻尼n/x使其收敛，但有些函数实际上可以自行收敛，比如f(x) = x/4 + 1收敛到3/2。请注意，即使你将其平均阻尼，它仍将变为3/2，因此只有没有不动点的函数才会永远循环。
- Sylwester
网页内容由stack overflow 提供, 点击上面的可以查看英文原文，
原文链接
原文链接