从滤波器系数计算频率响应

Question

我找不到任何易懂的关于这个主题的信息。在荷兰维基百科上，我发现可以应用z变换，其产生的公式如下：
www.music.mcgill.ca/~gary/618/week1/img15.gif 这个FIR滤波器是一个例子：
upload.wikimedia.org/math/b/9/e/b9e2ed5184f98621922f716e5216f33d.png 使用z变换：
upload.wikimedia.org/math/4/d/6/4d6621be8fabf4db8816c12f34ed9877.png 在这个例子中，e^it（自然对数乘以虚数单位，t = theta）被代替为z：upload.wikimedia.org/math/0/6/e/06eada8fedfb492bd63bb50491b042aa.png 然后，该函数的图形被用作频率响应。我认为这种方法是计算滤波器频率响应的简单方法。但是，这种方法是否有效？当我考虑到小延迟（“阻止”原始信号）时，我想到频率响应应该对于每个频率都是1，因为信号没有改变，只是延迟了，但是使用这种方法，我计算出的频率响应将是：

y(n) = 0*x(n) + 1*x(n-1)  

Z变换

H(z) = 0 + 1z^-1

将 e^it (其中 t=theta) 替换为：

H(e^it) = 0 + 1 * e^-it

由于这样产生的频率响应是正弦波，我肯定做错了什么或者误解了某些东西。如果有人能帮助我，我会非常感激！

- user382868

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这不是“正弦波”。它是一个具有单位的复数（re ^ 2 + im ^ 2 == 1），其相位变化取决于（与）频率成比例。也就是说，每个频率都有一个纯相位变化。 - rwong

这类问题也可以在http://mathoverflow.net/上提问。 - codekaizen

Answer 1

根据rwong的评论，系统函数H可以给出在特定频率下系统的相位和幅度响应。这意味着如果输入信号是cos[ωn] = cos[2πfn]，输出将是a(f)cos[2πfn + Φ(f)]，其中a(f)=|H(f)|且Φ(f)=phase(H(f))。在你的情况下，由于信号没有被缩放，只是时间上发生了偏移，所以幅度为1。相位偏移为-ω，其中ω是正弦输入信号的角频率。

我希望以下内容不会对Stack Overflow来说太基础，但是对minibear和其他人来说，回顾时间序列分析的基本知识可能会有所帮助。

如果你有一个脉冲响应为h[n]=δ[n-1]（其中δ[n]是一个delta函数）的系统，就像你的例子一样，这意味着你将输入信号延迟了1个时间步长。想想这在正弦波的相位方面意味着什么。最快变化的正弦波的数字频率为0.5（即2个样本的周期）--例如cos[πn]。这是系列[1，-1，...]。如果你将这个信号延迟1个时间步长，你将得到系列[-1，1，...]，即cos[πn - π] = cos[π(n - 1)]，即输入信号相位向负π弧度（-180度）偏移。看一个数字频率为0.25（即4个样本的周期）的更长周期信号--例如cos[0.5πn]。这是系列[1，0，-1，0，...]。单位延迟会产生系列[0，1，0，-1，...]，即cos[0.5πn - 0.5π] = cos[0.5π(n - 1)]，即输入信号相位向负π/2弧度（-90度）偏移。类似地，你可以计算出输入cos[0.25πn]将产生输出cos[0.25πn - 0.25π] = cos[0.25π(n - 1)]，即输入相位向负π/4弧度（-45度）偏移等等。

很明显，如果输入的角频率是ω（例如0.5π），输出将被相位偏移Φ=-ω。把信号想象成在逆时针方向上绕着单位圆运行的火车，其时间序列值对应于沿途停靠的位置。角频率为0.5π意味着它在以下弧度值处停靠4次：0、0.5π、π、1.5π。然后它返回0并一遍又一遍地重复这个周期。如果这辆火车被延迟了一站，那么这对应于在预定路线上向-0.5π弧度移动。

回到H(f)，我希望你能理解它等于exp(-i2πf) = exp(-iω)的原因。同样地，如果你的系统有2个单位的延迟，则h[n] = δ[n-2]，而H(f) = exp(-i4πf) = exp(-2iω)——这是在单位圆上延迟了2个单位。这就是系统/滤波器的频率响应所告诉你的全部内容，即系统如何根据频率缩放和延迟每个输入正弦波。

FIR系统（即有限脉冲响应，对应于移动平均模型[MA]）是最简单的，因为它们只是在前向路径上的delta函数（即缩放和延迟）的总和。IIR系统（即无限脉冲响应，对应于自回归模型[AR]）更有趣，因为它们有一个反馈路径。

- Eryk Sun

Answer 2

作弊并使用Matlab :)

对于

y(n) = 0*x(n) + 1*x(n-1)  

做

b=[ 0 1 ];
a = 1;
freqz(b,a)

- learnvst

Answer 3

一个简单的方法是基于图形的：你可以将其作为算法的基础，也可以手动使用它来绘制频率响应曲线，并且通过直观的方式快速了解响应。这适用于FIR和IIR滤波器。

首先，在图上绘制极点和零点，以及单位圆。 然后，对于任何你想计算频率响应幅值的给定频率：

• 从所有的零点画线到单位圆上相应的点，并计算它们的长度。
• 对于极点也做同样的操作。
• 将所有零线长度相乘得到一个乘积N。
• 对于极线长度也进行同样的操作，记为D。
• 幅值将会是N/D。

显然，你需要在单位圆上的多个点上重复上述操作。

- Paul R

Answer 4

这里没有问题，你做得很对。这不是正弦函数。根据欧拉方程，正弦函数定义如下： （e^jw - e^-jw）/ j2

换句话说，你最终得到的是一个复数。 假设你的输入是x[n] = cos( pi/3 * n )。那么系统的输出是 y[n] = H(e^jw)*x[n]

因此，你需要用数字频率pi/3来乘以频率响应来处理输入信号。 cos( pi/3 * n ) = ( e^pi/3*n + e^-pi/3*n)/2。将你的输入视为两个不同的信号，一个频率为pi/3，另一个频率为-pi/3。你最终得到的输出是e^-j(pi/3) * e^(pi/3*n) + e^j(pi/3) * e^(-pi/3*n)，这相当于2*cos( -pi/3*n - pi/3 )。这是预期的，因为信号被延迟了。

此外，把正弦波作为你的频率响应也没有任何问题。

- rurouniwallace