点到直线的距离3D公式

Question

我正在寻找一个JavaScript的三维公式，可以计算点到直线的距离。该公式也可以用其他的编程语言来实现。其中，P为一个点，A和B是直线上的两个点。

P=(4,2,1);
A=(1,0,1);
B=(1,2,0);

- john_per

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这个问题中的示例数据与此处发布的数据相同。题目要求在三维空间中找到点到直线的垂直距离。 - Niall Cosgrove

Answer 1

点 P 到线 (A, V) 的最近点是线 (X, P) 的交点，其中线 (X, P) 垂直于线 (A, B)。

如果一条线由两个点 A 和 B 定义，则可以计算出表示该线方向的 单位向量 D（请注意，单位向量的长度为1）：

D = normalize(B-A);

以下公式需要在线上找到一个点O，例如 O = A。

现在需要找到线（O，D）上距离点P最近的点X。

首先计算从O到P的向量V。

V = P - O;

可以通过点积计算从O到交点（最近点）X的距离d。
一般来说，两个向量的点积等于两个向量长度的乘积与它们夹角的余弦值。

dot( A, B ) == | A | * | B | * cos( angle_A_B ) 

由于 D 是单位向量，向量 V 和 D 的点积等于线段 (O, D) 与向量 V 之间夹角的余弦值，乘以向量 V 的模长：

d = dot(V, D);

交点X可以通过将点O沿着线(D)移动距离d来计算：

X = O + D * d;    

因此，交点的公式为：

O ... any point on the line
D ... unit vector which points in the direction of the line
P ... the "Point"

X = O + D * dot(P-O, D); 

计算线段 A、B 和点 P 的交点如下：

D = normalize(B-A);
X = A + D * dot(P-A, D);

三维笛卡尔坐标系的点积可以表示为：

dot(A, B) = Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz

可以通过以下方式计算归一化向量（单位向量）：

len(A) = sqrt(Ax*Ax + Ay*Ay + Az*Az)
notrmalize(A) = A / len(A)

在纯Javascript中，可以按以下方式计算：

var P=[4,2,1];
var A=[1,0,1];
var B=[1,2,0];

var AB    = [B[0]-A[0], B[1]-A[1], B[2]-A[2]];
var lenAB = Math.sqrt(AB[0]*AB[0] + AB[1]*AB[1] + AB[2]*AB[2]);

var D  = [AB[0]/lenAB, AB[1]/lenAB, AB[2]/lenAB];
var AP = [P[0]-A[0], P[1]-A[1], P[2]-A[2]];

var d = D[0]*AP[0] + D[1]*AP[1] + D[2]*AP[2];

var X = [A[0] + d * D[0], A[1] + d * D[1], A[2] + d * D[2]];

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使用 Three.js - Vector3 很容易实现此操作，该库定义了向量运算的操作，如 add、sub、dot 和 normalize：

var P = new THREE.Vector3( 4, 2, 1 );
var A = new THREE.Vector3( 1, 0, 1 );
var B = new THREE.Vector3( 1, 2, 0 );

var D = B.clone().sub( A ).normalize();
var d = P.clone().sub( A ).dot( D );
var X = A.clone().add( D.clone().multiplyScalar( d ) ); 

- Rabbid76

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谢谢，你帮助我更清楚了。 - john_per

Answer 2

你想要计算3D中一个点到一条直线的距离。three.js有一个名为Line3的类，可以为你完成这个计算。

var line = new THREE.Line3(); // create once and reuse

var P = new THREE.Vector3(); // ditto
var A = new THREE.Vector3();
var B = new THREE.Vector3();
var C = new THREE.Vector3();

P.set( 4, 2, 1 );
A.set( 1, 0, 1 );
B.set( 1, 2, 0 );

// calculate C, the closest point on the (infinite) line AB
line.set( A, B ).closestPointToPoint( P, false, C ); 

var distance = P.distanceTo( C );

console.log( distance );

three.js r.97

- WestLangley

Answer 3

P=new THREE.Vector3(4,2,1);
A=new THREE.Vector3(1,0,1);
B=new THREE.Vector3(1,2,0);

Normal=B.clone ().sub (A).normalize ()

Distance = Normal.multiplyScalar (P.sub (A).dot (Normal)).add (A).sub (P).length ()

- manthrax