正方形转梯形

Question

正方形转梯形

matrixtransformlinear-algebraprojectionperspective

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我知道将正方形变换成梯形是一种线性变换，可以使用投影矩阵完成，但我有点难以构建这个矩阵。

使用投影矩阵进行平移、缩放、旋转和剪切是简单明了的。是否有一个简单的投影矩阵可以将正方形变换为梯形呢？

- Andrew Prock

3个回答

3

也许你可以使用四边形？看看我在这里的答案：https://dev59.com/mWox5IYBdhLWcg3wDgEz#12820877。然后你就可以完全控制每个点，并且轻松地制作任何四个角的形状。 :)

- hfossli

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最小依赖的Java实现

对于那些知识和时间有限，寻求快速且可靠解决方案的人们，Wii-interact项目中提供了一个工作良好且相当可靠的Java实现。

转换过程在单应性源文件中。它归结为构建和解决矩阵：

/**
* Please note that Dr. John Zelle assisted us in developing the code to
* handle the matrices involved in solving for the homography mapping.
* 
**/
Matrix A = new Matrix(new double[][]{
                {x1, y1, 1, 0,  0,  0, -xp1*x1, -xp1*y1},
                {0,  0,  0, x1, y1, 1, -yp1*x1, -yp1*y1},
                {x2, y2, 1, 0,  0,  0, -xp2*x2, -xp2*y2},
                {0,  0,  0, x2, y2, 1, -yp2*x2, -yp2*y2},
                {x3, y3, 1, 0,  0,  0, -xp3*x3, -xp3*y3},
                {0,  0,  0, x3, y3, 1, -yp3*x3, -yp3*y3},
                {x4, y4, 1, 0,  0,  0, -xp4*x4, -xp4*y4},
                {0,  0,  0, x4, y4, 1, -yp4*x4, -yp4*y4}
        });

        Matrix XP = new Matrix(new double[][]
                          {{xp1}, {yp1}, {xp2}, {yp2}, {xp3}, {yp3}, {xp4}, {yp4}});
        Matrix P = A.solve(XP);
        transformation = new Matrix(new double[][]{
                {P.get(0, 0), P.get(1, 0), P.get(2,0)},
                {P.get(3, 0), P.get(4, 0), P.get(5,0)},
                {P.get(6, 0), P.get(7, 0), 1}
        });

用法：以下方法执行最终转换：

public Point2D.Double transform(Point2D.Double point) {
    Matrix p = new Matrix(new double[][]{{point.getX()}, {point.getY()}, {1}});
    Matrix result = transformation.times(p);
    double z = result.get(2, 0);
    return new Point2D.Double(result.get(0, 0) / z, result.get(1, 0) / z);
}

Matrix 类的依赖来自于 JAMA：Java 矩阵包

许可证

Wii-interact GNU GPL v3
JAMA 公共领域

- Rekin

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可以查看英文原文，
原文链接

- Alessandro Jacopson · Accepted Answer

a、b、c、d是2D正方形的四个角落。

a、b、c、d以齐次坐标表示，因此它们是3x1矩阵。

alpha、beta、gamma、delta是2D梯形的四个角落。

alpha、beta、gamma、delta以齐次坐标表示，因此它们是3x1矩阵。

H是您要查找的3x3矩阵，也称为单应性矩阵。

    h1 h2 h3
H = h4 h5 h6
    h7 h8 h9

H将a、b、c、d映射到alpha、beta、gamma、delta中，因此您有以下四个方程式

alpha=H*a
beta=H*b
gamma=H*c
delta=H*d

假设您已知a、b、c、d和alpha、beta、gamma、delta，则可以解决前面四个方程组，求得九个未知数h1、h2、h3、h4、h5、h6、h7、h8、h9。这里我只是描述了一个“原始”的解决方案，原则上可以工作；有关上述方法的详细说明，您可以查看例如此页面http://www.corrmap.com/features/homography_transformation.php，他们放置h9=1（因为H可以用8个参数表示），然后解决一个包含8个未知数的线性方程组中的8个方程。您可以在Elan Dubrofsky的论文第2节Homography Estimation by Elan Dubrofsky中找到类似的说明。另一个解释是David Austin的《使用射影几何矫正相机》2013年3月《美国数学学会特征专栏》。

上述方法及其缺点在第二版的《计算机视觉中的多视角几何》一书中的第4章“估计-2D投影变换”中有描述，Richard Hartley和Andrew Zissermann在其中还描述了不同且更好的算法; 您可以检查此链接http://www.cse.iitd.ac.in/~suban/vision/geometry/node24.html，该链接似乎遵循同一本书。

您可以在书籍Simon J.D. Prince的计算机视觉：模型，学习和推断的第15.1.4节“投影变换模型”中找到关于单应性的另一个解释。他的算法手册中概述了算法15.4：投影变换（单应性）的最大似然学习：通过非线性最小化来解决问题。