Haskell中的Floating类和Fractional类有什么区别？

Question

在Haskell中，Floating类和Fractional类有什么区别？

- joseabp91

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它们在 Prelude 中紧挨着彼此。 - Josh Lee

你确切想要表达什么？ - joseabp91

文档上真的没有信息吗？ - Blackbam

此问题无需更多信息。 - joseabp91

文档确实非常差。 - ZhekaKozlov

潜在的投票者：这个问题绝对不是不清楚的。 - duplode

Answer 1

非常粗略：

• Fractional 是能够表示任何有理数的类型的类（精确地或至少在一个良好的近似值）。它也可以表示其他数字，但这不重要。
  从另一方面来说，它只是具有除法运算的数字类型的类别；由于它是Num的子类，因此这意味着该类型必须包含有理数。

• Floating 是在Cauchy意义下封闭于极限的数字类型的类别，即完备空间。这对于进行任何形式的微积分都是必要的。 Floating 类的方法是作为极限数学上定义的函数，即无穷和（它们是泰勒级数的部分和序列的极限）。
  由于您可以将实数定义为有理数序列的极限，并且再次Floating是Fractional的子类，因此任何Floating类型都能够表示（再次提醒，至少在一个良好的近似值下）任何实数。

一个很好的区分方法是通过拓扑学：浮点类型是连通空间，即它们形成一个连续体。对于浮点数来说，这意味着每个值都被理解为实数的整个区间（因为浮点数始终存在一定的不确定性）。当你将这些区间并排放置时，你可以用没有间隙的方式铺满整个实数（至少到±10³⁰⁰）。

相比之下，一些分数类型是不连通的。特别地，有理数可以精确地表示所有它的（有理数）值，所以每个值只是一个“无限小的点”。你永远不能用这样的点覆盖整个实数线，也不能计算像sin或log这样的函数，因为这些函数的结果通常是一个非有理实数。

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值得思考一下这个“相当接近”的含义。Haskell标准没有定义这个。每个浮点数代表一个实数区间的故事很好地捕捉了它。更一般地说，我们可以说：Num/Fractional/Floating是表示整数/有理数/实数等价类的类型类。事实上，这些类别甚至不必是“小”的区间：特别是像Word32或标准的Int这样的有限类型可以用模算术的意义来理解，表现为结果如(2^70 :: Int) == 0，即等价类是2的64次幂的倍数。

在像Integer或Rational这样的情况下，等价类实际上只包含一个元素，即数字被精确地表示。对于实数，这也是可能的，但更加棘手，它被称为精确实数算术。有一些库，如aern，可以做到这一点。

- leftaroundabout

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说“*分数类型不相关*”是不是有点误导人了，因为浮点类型的集合是分数类型的子集（因为class Fractional a => Floating a）？这就像说“携带DNA/RNA的东西是活的”，却忘记了病毒（它们有RNA但没有新陈代谢）。 - Willem Van Onsem

@WillemVanOnsem 如果一个分数类型是浮点型，那么它就是连接的，但如果它没有连接，那么它就不是浮点型。 - Josh Lee

@JoshLee：是的，我知道：但我认为答案可能会有点令人困惑到那个程度... - Willem Van Onsem

@WillemVanOnsem 我说“一些”分数类型没有联系，并举了有理数作为例子。 - leftaroundabout

@leftaroundabout：是的，可能因为柏林电影节的截止日期，我有点过度劳累，第一次看时没有注意到some :( - Willem Van Onsem

Answer 2

Fractional和Floating的定义可以在Prelude文档中找到：

class Num a => Fractional a where
    (/) :: a -> a -> a
    recip :: a -> a
    fromRational :: Rational -> a 

Fractional numbers, supporting real division.

[...]

class Fractional a => Floating a where
    pi :: a
    exp :: a -> a
    log :: a -> a
    sqrt :: a -> a
    (**) :: a -> a -> a
    logBase :: a -> a -> a
    sin :: a -> a
    cos :: a -> a
    tan :: a -> a
    asin :: a -> a
    acos :: a -> a
    atan :: a -> a
    sinh :: a -> a
    cosh :: a -> a
    tanh :: a -> a
    asinh :: a -> a
    acosh :: a -> a
    atanh :: a -> a

Trigonometric and hyperbolic functions and related functions.

[...]

所以，将其翻译成英语：一个Fractional是我可以定义除法的任何数字类型：

(/) :: Fractional a => a -> a -> a

这可能适用于浮点数，也适用于分数（其中分数有一个分子和分母）。但对于Int来说就不是这样了，因为如果将Int除以Int，并不总是会产生一个Int（虽然在计算机上进行浮点除法不是精确的，但这又是另一回事）。

Fractional数字的一个子集是Floating数字，其中三角函数被定义。例如，一个分数的sin总是产生分数是不可能的：一个sin被定义为无限序列的总和。只有在极少数情况下（如sin 0），才能成立。基本上，在计算机上唯一可以（近似地）定义三角函数的数字是浮点数。

- Willem Van Onsem