OpenGL如何在不使用gluSphere()函数的情况下绘制球体？

Question

有没有教程可以解释如何在OpenGL中绘制球体而不使用gluSphere()？

许多关于OpenGL的3D教程只涉及立方体。我已经搜索了很多，但是大多数绘制球体的解决方案都是使用gluSphere()。也有网站提供了绘制球体的代码，链接为这个，但是它没有解释绘制球体的数学原理。该链接还提供了其他绘制球体的版本，使用的是多边形而不是四边形。但是同样地，我不理解代码如何绘制球体。我希望能够可视化球体，以便以后需要时进行修改。

- Carven

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请查阅球坐标系以获取数学解释（特别是从球坐标系到直角坐标系的转换）。 - Ned Bingham

Answer 1

你可以通过使用一个具有三角形面的正多面体来完成这个任务，例如一个八面体。然后，将每个三角形递归地分割成更小的三角形，如下所示：

当您拥有足够数量的点时，您需要对它们的向量进行归一化，使它们都与固体中心保持恒定距离。这会导致侧面凸出成类似于球体的形状，并且随着点数增加，平滑度也会增加。

在这里，归一化意味着移动一个点，使其相对于另一个点的角度相同，但它们之间的距离不同。以下是一个二维示例。

A和B之间相距6个单位。但是假设我们想要在AB线上找到一个离A点12个单位远的点。

我们可以说C是相对于A归一化后距离为12的B的标准形式。我们可以使用以下代码获取C：

#returns a point collinear to A and B, a given distance away from A. 
function normalize(a, b, length):
    #get the distance between a and b along the x and y axes
    dx = b.x - a.x
    dy = b.y - a.y
    #right now, sqrt(dx^2 + dy^2) = distance(a,b).
    #we want to modify them so that sqrt(dx^2 + dy^2) = the given length.
    dx = dx * length / distance(a,b)
    dy = dy * length / distance(a,b)
    point c =  new point
    c.x = a.x + dx
    c.y = a.y + dy
    return c

如果我们对许多点进行归一化处理，所有点都相对于同一点A并且与相同距离R相关，则归一化后的点将全部位于以A为圆心，半径为R的圆弧上。

这里，黑色点从一条线开始并“凸出”成弧线。

这个过程可以扩展到三维空间，这时你会得到一个球体而不是圆。只需在normalize函数中添加一个dz分量即可。

如果你看Epcot的球体，你可以看到这种技术在起作用。它是一个十二面体，其面部凸出使其看起来更加圆润。

- Kevin

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我宁愿删除对Epcot球的链接。这可能会让初学者感到困惑，因为每个三角形都再次被分成三个等腰三角形（类似于sqrt（3）-subdivision的第一部分）。我相信你可以找到更好的例子。 - Christian Rau

@xEnOn，我已经编辑了我的答案，更详细地解释了规范化。我认为问题在于规范化并不是我试图解释的实际技术术语，因此你很难在其他任何地方找到更多信息。对此我感到抱歉。 - Kevin

为什么这是对这种技术唯一好的描述？非常感谢！ - Cosine

也许更好的解释“规范化”过程是将点投影到球体上。此外，请注意，结果取决于规范化/投影是仅在最后一次应用（在所有细分之后，这似乎是建议的）还是与（递归）细分步骤交错应用。似乎仅在最后一次投影会产生靠近初始八面体顶点的顶点聚集，而交错细分和投影则会产生顶点之间的均匀距离。 - Tyler Streeter

喜欢这些动画！特别是它们改变旋转方向的方式 ;) - Ciprian Tomoiagă

Answer 2

我将进一步解释使用纬度和经度生成球体的流行方法（另一种名为 icospheres 的方法已在撰写本文时的最受欢迎答案中解释过）。

一个球可以用以下参数方程表示： F(u, v) = [ cos(u)*sin(v)*r, cos(v)*r, sin(u)*sin(v)*r ]

其中：

- r 是半径； - u 是经度，范围从 0 到 2π；以及 - v 是纬度，范围从 0 到 π。

然后，生成球体涉及在固定间隔处评估参数函数。

例如，要生成 16 条经线，则沿着 u 轴将有 17 条网格线，步长为 π/8 (2π/16)（第 17 条线绕回）。

下面的伪代码通过在规则间隔处评估参数函数来生成三角形网格（这适用于 任何 参数曲面函数，而不仅仅是球体）。

在下面的伪代码中，UResolution 是沿 U 轴（这里是经线）的网格点数，VResolution 是沿 V 轴（这里是纬线）的网格点数。

var startU=0
var startV=0
var endU=PI*2
var endV=PI
var stepU=(endU-startU)/UResolution // step size between U-points on the grid
var stepV=(endV-startV)/VResolution // step size between V-points on the grid
for(var i=0;i<UResolution;i++){ // U-points
 for(var j=0;j<VResolution;j++){ // V-points
 var u=i*stepU+startU
 var v=j*stepV+startV
 var un=(i+1==UResolution) ? endU : (i+1)*stepU+startU
 var vn=(j+1==VResolution) ? endV : (j+1)*stepV+startV
 // Find the four points of the grid
 // square by evaluating the parametric
 // surface function
 var p0=F(u, v)
 var p1=F(u, vn)
 var p2=F(un, v)
 var p3=F(un, vn)
 // NOTE: For spheres, the normal is just the normalized
 // version of each vertex point; this generally won't be the case for
 // other parametric surfaces.
 // Output the first triangle of this grid square
 triangle(p0, p2, p1)
 // Output the other triangle of this grid square
 triangle(p3, p1, p2)
 }
}

- Peter O.

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踩票似乎有点过分了。这是唯一一个通过球的参数方程提到离散构造示例的答案之一。从基础上来说，它也可能更容易理解，因为球可以被视为一堆随着接近极点而缩小的圆。 - Spacen Jasset

你好，我只是想指出p0、p1、p2、p3的每个值的第二个应该是v或vn，而不是u或un。 - nicole

Answer 3

这个示例中的代码很容易理解。你应该查看函数void drawSphere(double r, int lats, int longs)：

void drawSphere(double r, int lats, int longs) {
    int i, j;
    for(i = 0; i <= lats; i++) {
        double lat0 = M_PI * (-0.5 + (double) (i - 1) / lats);
        double z0  = sin(lat0);
        double zr0 =  cos(lat0);

        double lat1 = M_PI * (-0.5 + (double) i / lats);
        double z1 = sin(lat1);
        double zr1 = cos(lat1);

        glBegin(GL_QUAD_STRIP);
        for(j = 0; j <= longs; j++) {
            double lng = 2 * M_PI * (double) (j - 1) / longs;
            double x = cos(lng);
            double y = sin(lng);

            glNormal3f(x * zr0, y * zr0, z0);
            glVertex3f(r * x * zr0, r * y * zr0, r * z0);
            glNormal3f(x * zr1, y * zr1, z1);
            glVertex3f(r * x * zr1, r * y * zr1, r * z1);
        }
        glEnd();
    }
}

参数lat定义了球体中要有多少个水平线，lon定义了要有多少个垂直线。而r则是你的球体的半径。

现在进行了一个双重迭代来计算顶点坐标，使用简单的三角函数来计算。

计算得到的顶点现在使用glVertex...()作为GL_QUAD_STRIP发送到你的GPU，这意味着你正在发送每两个顶点，这些顶点与先前发送的两个顶点形成一个四边形。

现在你只需要理解三角函数的工作原理，但我想你可以很容易地弄清楚。

- Constantinius

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半径缺失。 - tomasantunes

第一个参数“double r”未被使用。 - ollydbg23

没错。代码示例不是我的原始答案的一部分。@genpfault：您在编辑中添加了代码示例。您能修复一下这个例子吗？ - Constantinius

感谢您的支持 :) - Constantinius

这段代码简洁且运行良好。你还可以用一些有趣的技巧来玩它。例如，lat = 2，使用大型longs - 你会得到一个双锥体。当lat = 2和long = 4时，你会得到一个八面体。减少外部for循环中的迭代次数，你就可以得到部分球体（除以2得到半球）。 - Locutus

Answer 4

这是一个关于如何使用“三角带”绘制“极坐标”球体的示例，它需要成对地绘制点：

const float PI = 3.141592f;
GLfloat x, y, z, alpha, beta; // Storage for coordinates and angles        
GLfloat radius = 60.0f;
int gradation = 20;

for (alpha = 0.0; alpha < GL_PI; alpha += PI/gradation)
{        
    glBegin(GL_TRIANGLE_STRIP);
    for (beta = 0.0; beta < 2.01*GL_PI; beta += PI/gradation)            
    {            
        x = radius*cos(beta)*sin(alpha);
        y = radius*sin(beta)*sin(alpha);
        z = radius*cos(alpha);
        glVertex3f(x, y, z);
        x = radius*cos(beta)*sin(alpha + PI/gradation);
        y = radius*sin(beta)*sin(alpha + PI/gradation);
        z = radius*cos(alpha + PI/gradation);            
        glVertex3f(x, y, z);            
    }        
    glEnd();
}

第一个点（glVertex3f）遵循参数方程，第二个点则向下一个平行线移动了一个alpha角度的步长。

- bloody

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底部存在问题，在行模式下可能会绘制两次，不确定具体情况，似乎是一种常见的问题。另外一条线在竖直方向上可见。 - oOo

Answer 5

   void draw_sphere(float r)
    {
    
        float pi = 3.141592;
        float di = 0.02;
        float dj = 0.04;
        float db = di * 2 * pi;
        float da = dj * pi;
    
    
        for (float i = 0; i < 1.0; i += di) //horizonal
            for (float j = 0; j < 1.0; j += dj) //vertical
            {
                float b = i * 2 * pi;      //0     to  2pi
                float a = (j - 0.5) * pi;  //-pi/2 to pi/2
    
    
                //normal
                glNormal3f(
                    cos(a + da / 2) * cos(b + db / 2),
                    cos(a + da / 2) * sin(b + db / 2),
                    sin(a + da / 2));
    
                glBegin(GL_QUADS);
                //P1
                    glTexCoord2f(i, j);
                    glVertex3f(
                        r * cos(a) * cos(b),
                        r * cos(a) * sin(b),
                        r * sin(a));
                //P2
                    glTexCoord2f(i + di, j);//P2
                    glVertex3f(
                        r * cos(a) * cos(b + db),
                        r * cos(a) * sin(b + db),
                        r * sin(a));
                //P3
                    glTexCoord2f(i + di, j + dj);
                    glVertex3f(
                        r * cos(a + da) * cos(b + db),
                        r * cos(a + da) * sin(b + db),
                        r * sin(a + da));
                //P4
                    glTexCoord2f(i, j + dj);
                    glVertex3f(
                        r * cos(a + da) * cos(b),
                        r * cos(a + da) * sin(b),
                        r * sin(a + da));
                glEnd();
            }
    }

- ismail akın çelik

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在哪里放置半径？ - oOo

似乎在使用GLScene和GLMesh获取这些顶点时无法正常工作。 - oOo

目前我对此持有保留意见，直到半径被加入其中，不过纹理选项还是有点有趣的。 - oOo

Answer 6

如果你想像狡猾的狐狸一样，可以从GLU中复制代码。请查看MesaGL源代码（http://cgit.freedesktop.org/mesa/mesa/）。

- blockchaindev

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虽然我理解在这个上下文中“half-inch”的意思，但我认为你可能想要编辑一下，以便其他95%不熟悉伦敦俚语的读者也能理解。 - Flexo

Answer 7

参考OpenGL红宝书：http://www.glprogramming.com/red/chapter02.html#name8 它通过多边形细分来解决问题。

- Walter

Answer 8

@Constantinius 的回答的 Python 版本：

lats = 10
longs = 10
r = 10

for i in range(lats):
    lat0 = pi * (-0.5 + i / lats)
    z0 = sin(lat0)
    zr0 = cos(lat0)

    lat1 = pi * (-0.5 + (i+1) / lats)
    z1 = sin(lat1)
    zr1 = cos(lat1)

    glBegin(GL_QUAD_STRIP)
    for j in range(longs+1):
        lng = 2 * pi * (j+1) / longs
        x = cos(lng)
        y = sin(lng)

        glNormal(x * zr0, y * zr0, z0)
        glVertex(r * x * zr0, r * y * zr0, r * z0)
        glNormal(x * zr1, y * zr1, z1)
        glVertex(r * x * zr1, r * y * zr1, r * z1)

    glEnd()

- Jaime02

Answer 9

虽然被接受的答案解决了问题，但最后有一点误解。十二面体是正多面体，所有面积相同。这似乎是Epcot的情况（顺便说一下，它根本不是十二面体）。由于@Kevin提出的解决方案没有提供这个特征，所以我想我可以添加一个具有此特征的方法。

生成N面多面体的好方法，使所有顶点都位于同一球体中，并且所有面的面积/表面类似，是从二十面体开始，迭代地细分和归一化其三角形面（如接受的答案所建议的）。例如，十二面体实际上是截短的二十面体。

正二十面体有20个面（12个顶点），可以通过3个黄金矩形轻松构建；只需要以这个作为起点而不是一个八面体。你可以在这里找到一个例子。

我知道这有点偏题，但我相信如果有人寻找这个特定情况的话，这可能会有所帮助。

- Carles Araguz

Answer 10

一种方法是创建一个面向相机的四边形，编写顶点和片段着色器，渲染出类似于球体的东西。可以使用互联网上找到的圆/球的方程式。

一个好处是，球体的轮廓从任何角度看起来都一样。但是，如果球体不在透视图中心，则可能看起来更像椭圆形。你可以求出这个方程，并将其放在片段着色器中。然后，光照需要随着玩家移动而改变，如果你确实有一个在3D空间中围绕球体运动的玩家。

有人尝试过这种方法吗？或者这种方法会过于昂贵，无法实现？

- Steven2163712

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这只适用于平行投影。如果使用透视投影，则渲染输出中的球体轮廓通常不是圆形。 - Reto Koradi