OpenGL沿路径绘制管道

Question

我正在尝试使用OpenGL绘制一些有趣的形状。

目前，我正在制作一个管道。我可以使用以下代码绘制直管：

void tube(GLfloat radius, GLfloat segment_length) {
    glPolygonMode(GL_BACK, GL_NONE);
    glPolygonMode(GL_FRONT, GL_FILL);

    glPushMatrix(); {
        GLfloat z1 = 0.0;
        GLfloat z2 = segment_length;

        GLfloat y_offset = 0.0;
        GLfloat y_change = 0.00;

        int i = 0;
        int j = 0;
        for (j = 0; j < 20; j++) {
            glPushMatrix(); {
                glBegin(GL_TRIANGLE_STRIP); {
                    for (i = 360; i >= 0; i--) {
                        GLfloat theta = i * pi/180;
                        GLfloat x = radius * cos(theta);
                        GLfloat y = radius * sin(theta) + y_offset;

                        glVertex3f(x, y, z1);
                        glVertex3f(x, y, z2);
                    }
                } glEnd();
            } glPopMatrix();

            // attach the front of the next segment to the back of the previous
            z1 = z2;
            z2 += segment_length;

            // make some other adjustments
            y_offset += y_change;
        }
    } glPopMatrix();
}

然而，我还没有想出如何让管道沿着任何预定义的路径(比如一个螺旋线或者简单的直线)运动。如果你将y_change改为0.01之类的值，那么就会在每个管道段偏移0.01的y方向上进行绘制。这很好，但是我怎样才能使每个段指向那个方向呢？换句话说，现在每个段都是面向相同的方向绘制的，而且方向并不是管道的方向(因为y_change=0.01时，方向略微向上)。

我不确定该怎么办。我曾经尝试过通过获取前一段和当前段之间的矢量来玩弄向量，但除此之外，我不太清楚要做什么。

- gregghz

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你看过（以红皮书的甜甜圈示例为例）吗？http://www.opengl.org/resources/code/samples/redbook/torus.c - Jerry Coffin

Answer 1

这个想法被称为“路径控制挤出”，即您拥有一个基本的n维形状，并沿着n+1维曲线挤出它。我能看出你的表情：“嗯，他在说什么？”

因此，以下是粗略的概述。首先，您需要一个将值（通常称为t）映射到空间中连续、平滑曲线的函数。例如，螺旋线：

path(t): R → R³, t ↦ ( a·sin(k·t), b·cos(k·t), c·t )

这个想法是，找到一个本地化的坐标系来定义与路径相关的顶点位置 - 这意味着其中一个坐标要与路径平行对齐，因此需要找到它的切线。这是通过找到其梯度来完成的：

tangent(t): R → R³, t ↦ ( k·a·cos(k·t), -k·b·sin(k·t), c ) = d/dt path(t)

这是指沿着曲线指向本地基向量，其中本地坐标系统的原点位于曲线上的点 t。

但是我们需要另外两个向量来构成一个完整的三维基向量。通常最好选择第二个基向量垂直于曲率，可以通过找到切线的旋度来实现：

normal(t): R → R³, t ↦ ( -k²·a·sin(k·t), -k²·b·cos(k·t), 0 ) = d/dt tangent(t) = d²/dt² path(t)

这被称为法向量。

第三个基向量可以通过法向量和切线的叉积得到，从而得到副法向量。我会让你把它当作练习去理解。

现在要沿着曲线拉伸一个形状，你需要将路径分成段，只需迭代选择范围内的t，就可以得到本地原点。你的拉伸形状的点相对于此原点路径(t)。假设你的形状由x-y平面上的P_n点组成，则：

for t in [k..l]:
    for p in P_n:
        yield_vertex( path(t).x + binormal(t).x * p.x, 
                      path(t).y + normal(t).y * p.y, 
                      path(t).z )

我会把这个留给你，让你想办法将其适配到OpenGL，毕竟思考可以帮助你学习。如果你明天还没解决，我很愿意提供答案，但是自己想出来通常更有趣。

- datenwolf

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+1：非常好的答案。如果您对分段线性函数感兴趣，可以将切线视为v(n)（从上一个点到这个点的向量）和v(n+1)（从这个点到下一个点的向量）的平均值。 - Jackson Pope

太棒了，感谢您的回答。我会花些时间来研究这个问题。我会让您知道我的进展情况（尽管学校和工作可能会占用我留给这个的娱乐时间）。 - gregghz

是的，我担心我的数学技能不足以解决这个问题（部分原因可能是我并不完全理解你的符号表示）。我似乎无法将其翻译成OpenGL，无论我做什么，管道段始终面向一个方向。 - gregghz

Answer 2

将其简化为以前解决的问题。

- genpfault

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GLE挤出库有点过时，存在一些错误，需要重新制作。 - sancelot

Answer 3

这个API可以沿着一条路径进行挤出操作：

http://www.visualizationlibrary.org/documentation/pag_guide_extrusion.html

- sancelot

Answer 4

从代数向量的角度来看，物理解释是您挤出问题的好选择：

https://cobalt.rocky.edu/~ulrich.hoensch/FS_2016/MAT275/Lecture%20Notes/Lecture%2013_5%20The%20Binormal%20Vector%20and%20Torsion.pdf

https://physics.stackexchange.com/questions/368634/direction-of-velocity-vector-in-3d-space

https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Map%3A_University_Calculus_(Hass_et_al)/12%3A_Vector-Valued_Functions_and_Motion_in_Space/12.5%3A_Tangential_and_Normal_Components_of_Acceleration

https://web.mit.edu/hyperbook/Patrikalakis-Maekawa-Cho/node24.html

实际上可以看到：

1）path（t）是r（alpha（t）），其中alpha（t）= kt，k = 2PI / w r（t）-具有3d（欧几里得空间）坐标的位置矢量：x（t），y（t），z（t） alpha-中心处的角度 w-标量角速度= 2PI / k =（r x v）/ || r ^ 2 ||，其中x是向量积

2. tangent（t）是v（t）切向速度= dr / dt（梯度）

3. normal（t）是a（t）法向加速度= dv / dt

4. binormal（b）是向量积的结果b（t）= a（t）x v（t）

binormal（b），normal（a）和tangent（v）向量定义了沿着空间曲线（r）的正交局部坐标系-请参见node24.html文章中的图2.6。

因此，如果我已经记住了b（= a x v）、n（= a = dv/dt）和v（= dr/dt）的本地计算值，我可以使用一种转换从BNV系统转换为XYZ系统（从一个坐标系到另一个坐标系的转换；两个坐标系都是正交的），以获得x、y、z坐标；

总之，任何来自XYZ的点(x,y,z)都可以写成其从BNV系统中投影点的线性组合。

在物理学中，参见运动方程：https://en.wikipedia.org/wiki/Equations_of_motion

您可以在这份数学文档中看到它，在幻灯片3和5中： https://www.robots.ox.ac.uk/~sjrob/Teaching/Vectors/

备注：

-不要忘记一些可导函数可以分解为诸如sin和cos函数的线性组合（参见傅里叶变换：https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series）。

-此外，不要忘记这些组合函数（需要区分时非常有用）：http://mathsfirst.massey.ac.nz/Calculus/ChainRule/decompose.html#vma

结论:

-如果找到一个三维参数化函数（=算法）来描述一个三维物体（= 3D模型 = 3D对象），那么可以在三维空间中绘制它；

-参数化不是绘制三维物体（3D对象）的唯一方法...例如可以使用二维函数的旋转来获得它！

或者，除了参数化之外，还可以通过以下方式获得3D实体：Tube（沿路径挤出）图像作为两个棱柱的交集结果，参见http://www.songho.ca/opengl/gl_cylinder.html，以及从初始面/轮廓中的点P投影到两个棱柱的交点平面中获得的P'（投影点P的计算），参见https://www.cs.princeton.edu/courses/archive/fall00/cs426/lectures/raycast/sld017.htm

（这种挤出方法将一个点集作为输入，用于轮廓=初始面和路径，可以改进以获得平滑的路径或轮廓：https://en.wikipedia.org/wiki/Centripetal_Catmull%E2%80%93Rom_spline，

https://jiharu.github.io/intm3d/week03.html,

https://www.ee.ucl.ac.uk/~mflanaga/java/Interpolation.html

或者，您可以尝试使用另一种更平滑的Kockanek-Bartel(KB)插值方法，也称为张力-连续性-偏差样条(TCB)（请参见https://download.java.net/media/java3d/javadoc/1.5.0/com/sun/j3d/utils/behaviors/interpolators/package-summary.html）。

-但请不要忘记，使用这些方法只能得到一个点云（而不是整个3D模型），用于近似3D曲线。

如果知道点云、边缘和面的法向量，则可以完全定义一个模型（请参见基于点云的Poisson重建https://doc.cgal.org/latest/Poisson_surface_reconstruction_3/index.html）。

请注意代数向量3D（或3D向量代数）的强大作用！！！

- Ion Stefanache