1 (mod N) 是什么意思？

Question

我正在尝试用JavaScript实现一个简单的算法。无论我查找哪里，它都要求计算1 (mod N)的代码。据我所知，对任何数字取模1（或1％N）都是1。

我错过了什么？它总是1吗？如果是，为什么不直接使用1？

- JJJollyjim

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1 取模任何数（或 1%N）都是 1，除非 N 是 1，此时结果为零。 - 500 - Internal Server Error

理解的关键是，在数学符号中，(mod n)适用于*表达式的两侧，即使通常只写在右侧（参见Confused about modular notations）。因此，根据@Blender的答案，表达式a ≡ 1 (mod N)应该被理解为“当系统取模N时，a ≡ 1”，或者a % N == 1 % N（或者只是a % N == 1，因为1 % N始终等于1）。 - sevko

“（mod n）适用于表达式的两侧，即使它通常只写在右侧。” - 谢谢，我终于明白我盯着的公式了。 - Matthew James Briggs

Answer 1

这个算法可能会说类似于：

x ≡ 1 (mod N)  # x is congruent to 1 (modulo N)

(mod N)和三重等号符号表示您正在处理模算术，而不是普通算术。可以将其视为时钟的指针。在模算术中，x ≡ 1表示x和1属于同一个剩余类。如果您有一个有N小时间隔的时钟，则将指针旋转1次或x次将使指针到达相同的终点位置。

对于您的特定情况，在JavaScript中，如果x永远不是负数，则x ≡ 1 (mod N)可以表示为x % N === 1 。否则，即使它应该，您的等式也不会成立：例如，-1 ≡ 1 (mod 2)但(-1) % 2 === -1，尽管在模算术意义下它们是“相等的”，但并不等于1。

如果您期望x为负数，则可以重新排列同余关系：

       x ≡ 1 (mod N)
⇒  x - 1 ≡ 0 (mod N)

x - 1 % N 等于 0 意味着它可以被 N 整除，因此您可以放心使用模运算符：

if ((x - 1) % N === 0) {
    ...
}

- Blender

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澄清一下： x ≡ 1 (mod N) 的意思其实是 x % N == 1 % N，因为假设 N 不等于1，则 1 % N == 1。这个式子可以简化成 x % N == 1。 - sevko

Answer 2

取模（%）运算符的工作原理在ECMA-262 §11.5.3中有定义。有一些怪癖，ECMAScript取模运算符接受浮点数和整数：

对于整数：

1 % -Infinity returns 1
...
1 % -2 returns 1
1 % -1 returns 0
1 %  0 returns NaN
1 %  1 returns 0
1 %  2 returns 1
...
1 % Infinity returns 1

对于浮点数，

1 % -1.1 returns 1
1 %  0.1 returns 0.09999999999999995
1 %  0.6 returns 0.4
1 %  0.5 returns 0
1 %  0.4 returns 0.19999999999999996
1 %  0.9 returns 0.09999999999999998
1 %  1.1 returns 1

因此，如果没有上下文来解释模运算符的应用方式，那么很难确定为什么要使用它。最好的方法是查看代码文档，但我想这可能不可行。

其中一种用途是，在期望整数的情况下，将0和1评估为false，将其他所有值评估为true，例如：

if (1 % n) {
  // do this if n is something other than 0 or 1
}

- RobG