如何确定一组点是否在同一个平面上？

Question

我有一组点的坐标（X，Y，Z）。我需要检查它们是否在某种公差范围内共面。我的方法是：将所有点从全局坐标系转换到本地坐标系，其中本地x，y在由集合中的3个点定义的平面上，z垂直于该平面。然后，我只需要检查集合中的所有点是否具有大致相似的本地z值。

但是，棘手的部分是如何选择3个点来定义参考平面。如果随机选择，这将导致有时点集共面，有时不共面。您有什么建议吗？

- N.T.C

Answer 1

可能最常见的方法是使用主成分分析：https://en.wikipedia.org/wiki/Principal_component_analysis

简单描述如下：

1. 计算输入点的3x3协方差矩阵
2. 提取最小特征向量。这是拟合所有点的最小二乘误差平面的法向量。

- Matt Timmermans

Answer 2

1. normal n

   pick any 3 points from your dataset that are not on a single line let call them p0,p1,p2. To improve accuracy they should be more distant to each other. Now to construct a normal vector do this:

   n = cross( p1-p0 , p2-p0 ); // perpendicular vector to both operands of cross
   n /= |n|;                   // unit vector
   

2. check all points

   for any point on the plane formed by p0,p1,p2 the altitude component (in normal direction) should be zero so for any point p:

   |dot( p-p0 , n )|<=1e-10
   

   the 1e-10 is just some zero threshold due to accuracy loss on FPU ... Any point not satisfying the condition does not belong to the plane ...

那么如何选择三个点形成一个三角形？

1. 选择p0和p1 选择具有最小x、y、z坐标的点p0和具有最大x、y、z坐标的点p1。这样可以确保它们之间的距离足够远。

2. 选择p2 现在搜索点并找到使| dot（p1-p0，pi-p0）|最小的点。同时，保证| pi-p0 |不为零且足够大（例如至少为0.1 * | p1-p0 |）。这确保了点形成一个三角形并且彼此之间不会太接近。

所有这些都可以在O（n）时间内完成，因此速度仍然很快...

- Spektre

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这不就是我在问题中描述的吗？这里的问题实际上是选择p1、p2和p3所使用的标准是什么。这非常棘手，因为例如，如果所有点都共面但p3不共面，则选择将导致错误的结果。 - N.T.C

@N.T.C 是的，你说得对，抱歉我忘记提交答案的另一部分了...我真是太傻了 :) - Spektre