Perlin噪声的输出范围

Question

我正在研究一些相关的相干噪声实现（我知道有库，但这主要是为了自己的教育和好奇心），以及如何使用它，但我对原始的Perlin噪声算法有一个问题。

根据这个常常被引用的数学FAQ，输出范围将在-1和1之间，但是我不明白值是如何达到这个范围的。

据我所知，算法基本上是这样的：每个网格点都有一个关联的长度为1的随机梯度向量。然后，对于每个点，对于所有四周的网格点，计算随机梯度和从该网格点出发的向量的点积。然后使用花式缓动曲线和线性插值将其降至一个值。

但是，这里有我的问题：这些点积偶尔会超出[-1, 1]的范围，由于最终值最终在点积之间进行线性插值，那么这是否意味着最终值偶尔会超出[-1, 1]的范围？

比如说，其中一个随机向量是(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)（长度为1），(0.8, 0.8)（在单位正方形内），你得到的结果大约是1.131。如果该值用于线性插值，生成的值完全有可能大于1。事实上，使用我的直接实现，这种情况经常发生。

我这里缺少了什么吗？

供参考，这是我的Java代码。 Vec是一个简单的类，用于进行简单的2D矢量运算，fade()是缓动曲线，lerp()是线性插值，gradient(x, y)给出了该网格点的梯度作为Vec。 gridSize变量以像素为单位给出了网格的大小（它具有double类型）：

public double getPoint(int x, int y) {
    Vec p = new Vec(x / gridSize, y / gridSize);
    Vec d = new Vec(Math.floor(p.x), Math.floor(p.y));


    int x0 = (int)d.x,
        y0 = (int)d.x;


    double d00 = gradient(x0    , y0    ).dot(p.sub(x0    , y0    )),
           d01 = gradient(x0    , y0 + 1).dot(p.sub(x0    , y0 + 1)),
           d10 = gradient(x0 + 1, y0    ).dot(p.sub(x0 + 1, y0    )),
           d11 = gradient(x0 + 1, y0 + 1).dot(p.sub(x0 + 1, y0 + 1));

    double fadeX = fade(p.x - d.x),
           fadeY = fade(p.y - d.y);

    double i1 = lerp(fadeX, d00, d10),
           i2 = lerp(fadeX, d01, d11);

    return lerp(fadeY, i1, i2);
}

编辑：以下是生成随机渐变的代码：

double theta = gen.nextDouble() * 2 * Math.PI; 
gradients[i] = new Vec(Math.cos(theta), Math.sin(theta));

其中gen是一个java.util.Random对象。

- Oskar

Answer 1

您有y0 = (int)d.x;，但您指的是d.y。这肯定会影响您的输出范围，并且是您看到如此大的超出范围值的原因。

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话虽如此，Perlin噪声的输出范围实际上并不是[-1, 1]。虽然我自己不太确定数学（我一定是老了），但这个相当冗长的讨论解释了实际范围为[-sqrt(n)/2, sqrt(n)/2]，其中n是维度（在您的情况下为2）。因此，您的2D Perlin噪声函数的输出范围应为[-0.707, 0.707]。这与d和插值参数都是p的函数有关。如果您阅读该讨论，您可能会找到您正在寻找的精确解释（特别是帖子＃7）。

我正在使用以下程序测试您的实现（我从您的示例中拼凑而来，因此请原谅对gridCells和gridSize的奇怪使用）：

import java.util.Random;


public class Perlin {

    static final int gridSize = 200;
    static final int gridCells = 20;
    static final Vec[][] gradients = new Vec[gridCells + 1][gridCells + 1];

    static void initializeGradient () {
        Random rand = new Random();
        for (int r = 0; r < gridCells + 1; ++ r) {
            for (int c = 0; c < gridCells + 1; ++ c) {
                double theta = rand.nextFloat() * Math.PI;
                gradients[c][r] = new Vec(Math.cos(theta), Math.sin(theta));                
            }
        }
    }

    static class Vec {
        double x;
        double y;
        Vec (double x, double y) { this.x = x; this.y = y; }
        double dot (Vec v) { return x * v.x + y * v.y; }
        Vec sub (double x, double y) { return new Vec(this.x - x, this.y - y); }
    }

    static double fade (double v) {
        // easing doesn't matter for range sample test.
        // v = 3 * v * v - 2 * v * v * v;
        return v;
    }

    static double lerp (double p, double a, double b) {
        return (b - a) * p + a;
    }

    static Vec gradient (int c, int r) {
        return gradients[c][r];
    }

    // your function, with y0 fixed. note my gridSize is not a double like yours.     
    public static double getPoint(int x, int y) {

        Vec p = new Vec(x / (double)gridSize, y / (double)gridSize);
        Vec d = new Vec(Math.floor(p.x), Math.floor(p.y));

        int x0 = (int)d.x,
            y0 = (int)d.y;

        double d00 = gradient(x0    , y0    ).dot(p.sub(x0    , y0    )),
               d01 = gradient(x0    , y0 + 1).dot(p.sub(x0    , y0 + 1)),
               d10 = gradient(x0 + 1, y0    ).dot(p.sub(x0 + 1, y0    )),
               d11 = gradient(x0 + 1, y0 + 1).dot(p.sub(x0 + 1, y0 + 1));

        double fadeX = fade(p.x - d.x),
               fadeY = fade(p.y - d.y);

        double i1 = lerp(fadeX, d00, d10),
               i2 = lerp(fadeX, d01, d11);

        return lerp(fadeY, i1, i2);

    }

    public static void main (String[] args) {

        // loop forever, regenerating gradients and resampling for range. 
        while (true) {

            initializeGradient();

            double minz = 0, maxz = 0;

            for (int x = 0; x < gridSize * gridCells; ++ x) {
                for (int y = 0; y < gridSize * gridCells; ++ y) {
                    double z = getPoint(x, y);
                    if (z < minz)
                        minz = z;
                    else if (z > maxz)
                        maxz = z;
                }
            }

            System.out.println(minz + " " + maxz);

        }

    }

}

我看到的值在理论范围内[-0.707, 0.707]，尽管我通常看到的值在-0.6和0.6之间；这可能只是由于值分布和低采样率导致的结果。

- Jason C

Answer 2

当计算点积时，可能会得到超出-1 +1范围的值，但是在插值步骤中，最终值会落在-1 +1范围内。这是因为插值的距离向量指向插值轴的相反方向。在最后的插值过程中，输出不会超出-1 +1范围。

Perlin噪声的最终输出范围由梯度向量的长度定义。如果我们谈论2D噪声并且我们的目标是具有-1 +1的输出范围，则梯度向量的长度应该为sqrt（2）（~1.4142）。混淆这些向量（1,1）（-1,1）（1，-1）（-1，-1）和（1,0）（0,1）（-1,0）（0，-1）是常见错误。在这种情况下，最终输出范围仍将是-1 +1范围，但范围在-0.707 +0.707之间的值将更加频繁。为了避免这个问题，（1,0）（0,1）（-1,0）（0，-1）向量应替换为（sqrt（2），0）（0，sqrt（2））（-sqrt（2），0）（0，-sqrt（2））。

- Fataho