R中浮点精度的极端数字值

Question

有人能解释一下以下的输出吗？我知道它与浮点精度有关，但数量级（1e308的差异）让我感到惊讶。

0：高精度

> 1e-324==0
[1] TRUE
> 1e-323==0
[1] FALSE

1: 非常不精确

> 1 - 1e-16 == 1
[1] FALSE
> 1 - 1e-17 == 1
[1] TRUE

- user3370602

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好的，这是R FAQ 7.31。 - user3710546

特别是，请尝试 options(digits = 22); x <- 1 - 1e-16; y <- 1 - 1e-17 == 1; print(y); print(x)。 - Robert Krzyzanowski

@DavidArenburg 我不认为你所提供的“重复”问题完全相同。OP似乎并没有说他们对某个值必须被完全表示感到惊讶，而是关于在0附近和1附近可表示数字的密度。 - Pascal Cuoq

@DavidArenburg，你是指那个拥有金徽章的Roman用户吗？他没有阅读评论或查找真正的重复问题，就关闭了这个问题？这个问题交给专业人士处理。 - Pascal Cuoq

@user3710546：公平地说，R FAQ 7.31中所示的数字示例非常糟糕；它没有加法示例，因此无法说明任何.Machine$ulp，eps，min.exp，xmin。(1 - 1e-17 == 1) == TRUE是一个更清晰、更简单的例子。 - smci

Answer 1

R使用IEEE 754双精度浮点数。

浮点数在靠近零时更密集。这是因为它们被设计为能够在非常宽的范围内准确计算（相当于大约16个有效数字），如您所注意到的。

也许您期望一个具有均匀绝对精度的定点系统。实际上，定点要么浪费空间，要么必须事先仔细估计每个中间计算的范围，如果估计错误会产生严重后果。

正浮点数的示意图如下：

+-+-+-+--+--+--+----+----+----+--------+--------+--------+--
0

最小正常双精度数是2的最小指数次幂。接近1时，双精度浮点数已经相当分散。从1到其下一个数的距离是2的-53次方，而从1到其上一个数的距离是2的-52次方。

- Pascal Cuoq

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如果支持完整的17位精度，几乎17个有效数字 - 1-1e-17将与1不同。 - Patricia Shanahan

@PatriciaShanahan 我想表达的是，十进制数字的数量只是二进制浮点数精度的粗略度量，并最终使用了“等效”，这并不够强。我已经添加了“大约”。 - Pascal Cuoq

在我们吹毛求疵的时候，“近16位数字”比“近17位数字”更准确（2^53大约是10^15.95）。 - Mark Dickinson

Answer 2

根据@PascalCuoq的回答，由于IEEE 754兼容平台（例如x86）上R双精度浮点数的精度不完全是16位小数：

# Machine ULP in decimal digits...
.Machine$double.ulp.digits * log10(2)
-15.65...

# Note the direct relationship between ULP digits and EPS:
.Machine$double.ulp.digits = -52 
2.22 e-16 = .Machine$double.eps == 2^.Machine$double.ulp.digits

因此，1-1e-16已经非常接近ULP了，而1-1e-17超出了ULP，并被舍入为浮点数1.0。

请参阅R文档的 .Machine：“机器的数字特征”。特别关注EPS和ULP之间的差异。

（ULP是相对于FP数字1定义的。你的FP数字越大，最后一位的值就越大，舍入操作就越粗糙）

至于数量1e-323来自哪里：你将ULP与可表示的最小FP值混淆了，后者要小得多。

根据IEEE 754双精度示例，可表示的最小正规化FP值的指数为e-308...

# Minimum-representable normalized positive FP value is...
.Machine$double.xmin
2.225..e-308

# ...which would correspond to this base-2 exponent...
log10(.Machine$double.xmin) / log10(2)
-1022
# ...or this base-10 exponent...
.Machine$double.min.exp * log10(2)
-307.65...

如果使用未标准化的浮点数，即所有前导尾数位都为0，我们可以得到稍微更小的值。因此，正如您从经验上发现的那样，最小可表示的未标准化正浮点值在1e-324和1e-323之间。这是因为我们有52个尾数位，因此LSB的数值是2^51或10^15.35倍较小：

# Exponent of Minimum-representable UNnormalized positive FP value 
log10(.Machine$double.xmin) - (.Machine$double.digits * log10(2))
-323.607...

我们为什么无法准确地通过实验探索它呢？因为IEEE-754在舍入之前内部带有一些保护数字。

另请注意参数，该参数表示表示法是基于2的：.Machine$double.base = 2。

- smci

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对于所有的投票者和读者，请真正评论一下有什么问题，如果有的话。我为这篇文章付出了一些努力。 - smci