从高度图计算法线

Question

我正在尝试使用中心差分将高度图转换为法线矩阵，以后将对应于给定点的陡峭程度。我找到了几个正确结果的链接，但没有解释背后的数学原理。

  T
L O R
  B

从这个链接中，我意识到我可以这样做：

Vec3 normal = Vec3(2*(R-L), 2*(B-T), -4).Normalize();

事实上，我不知道2*和-4来自何处。

在这篇关于中央差分的解释中，我看到我们应该将该值除以2，但我仍然不知道如何将所有这些连接起来。

我真正想知道的是这背后的线性代数定义。我有一个高度图，我想测量中央差异，并且我想获得法向量，以便稍后用于测量陡峭程度。

PS：Z轴是高度。

- gdf31

Answer 1

从向量微积分中，表面的法线由 梯度算子 给出：

高度图 h(x, y) 是函数 f 的一种特殊形式：

对于离散化的高度图，假设网格大小为 1，上述两个导数项的一阶近似值为：

由于从 L 到 R 的 x 步长为 2，y 步长相同。上述公式恰好是您所得到的公式，除以 4。当将此向量归一化时，4 的因素被消除。

（本答案的撰写并未伤及任何线性代数）

- meowgoesthedog

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让我们在聊天中继续这个讨论。 - Sammi3