三角函数是如何工作的？

Question

三角函数是如何工作的？

algorithmmathtrigonometry

114

在高中和大学数学中，我们学习如何使用三角函数、它们的作用以及解决哪些问题。但是它们总是被呈现给我一个黑盒子。如果你需要计算正弦或余弦，只需在计算器上按下相应按钮即可。这是可以的。

我想知道的是三角函数通常如何实现。

- Jurassic_C

你是否对三角函数是什么或者它们如何实现感到困惑？ - Kyle Cronin

17

我知道它们是什么，我知道它们的作用，我知道如何确定我需要哪个来达到什么目的。我可以向你讲述角度和距离之间的关系。我寻找的更多是类似于约翰·D·库克的答案，以及其他提到实际算法的人。 - Jurassic_C

这是一个很好的问题。例如，正弦、余弦和正切是超越函数，很难求解...另一方面，它们可以使用简单的泰勒级数展开来定义，这将为您提供所需的任何有限精度的正确答案。 - Alex

7个回答

49

编辑：Jack Ganssle在他的嵌入式系统书籍"The Firmware Handbook"中有一个不错的讨论。

FYI：如果您有精度和性能限制，泰勒级数不应该用于近似数值目的的函数。（请将它们保留到您的微积分课程中。）它们利用了函数在单个点处的analyticity，例如该点上所有导数都存在的事实。它们不一定在感兴趣的区间内收敛。通常，它们在分配函数近似的准确性方面做得很差，以便在评估点附近“完美”；随着你离开这个点，误差通常会急剧上升。而且，如果您有任何非连续导数的函数（例如方波、三角波及其积分），泰勒级数将给出错误的答案。

最好的“简单”解决方案是，在使用最大次数为N的多项式来近似给定函数f(x)的区间x0<x<x1时，使用Chebyshev approximation；请参见Numerical Recipes中的良好讨论。请注意，我链接到的Wolfram文章中的Tj(x)和Tk(x)使用余弦和反余弦，这些都是多项式，在实践中，您使用递归公式来获得系数。再次参见Numerical Recipes。

编辑：维基百科有一篇关于逼近论的文章。他们引用的一些来源（Hart，“计算机逼近”）已经绝版了（并且二手拷贝往往很昂贵），但详细介绍了这方面的内容。（Jack Ganssle在他的通讯The Embedded Muse第39期中提到了这一点。）

编辑2：这里是sin(x)的Taylor和Chebyshev逼近的一些具体误差指标（见下文）。需要注意以下几点：

在给定范围内，Taylor级数逼近的最大误差要比同阶Chebyshev逼近的最大误差大得多。（对于大致相同的误差，使用Chebyshev可以少用一个项，这意味着更快的性能）
范围缩小是一个巨大的优势。这是因为当逼近的区间更小时，更高阶多项式的贡献会缩小。
如果无法进行范围缩小，则需要以更高精度存储系数。

请注意：泰勒级数对于正弦/余弦函数的计算是有效的（在范围为-pi/2到+pi/2的情况下具有合理的精度；从技术上讲，使用足够多的项，您可以达到任何实数输入的所需精度，但尝试使用泰勒级数计算cos(100)，除非您使用任意精度算法，否则无法完成）。如果我被困在一个没有科学计算器的荒岛上，需要计算正弦和余弦，我可能会使用泰勒级数，因为系数很容易记住。但是，编写自己的sin()或cos()函数的真实世界应用程序很少，最好使用高效的实现来达到所需的精度--而泰勒级数不是最佳选择。

范围=-pi/2到+pi/2，度数5（3项）

泰勒：最大误差约为4.5e-3，f(x)=x-x³/6+x⁵/120
Chebyshev：最大误差约为7e-5，f(x)=0.9996949x-0.1656700x³+0.0075134x⁵

范围=-pi/2到+pi/2，度数7（4项）

Taylor：最大误差约为1.5e-4，f(x) = x-x³/6+x⁵/120-x⁷/5040
Chebyshev：最大误差约为6e-7，f(x) = 0.99999660x-0.16664824x³+0.00830629x⁵-0.00018363x⁷

范围 = -pi/4 到 +pi/4，度数为3（2项）

Taylor：最大误差约为2.5e-3，f(x) = x-x³/6
Chebyshev：最大误差约为1.5e-4，f(x) = 0.999x-0.1603x³

范围 = -pi/4 到 +pi/4，度数为5（3项）

Taylor：最大误差约为3.5e-5，f(x) = x-x³/6+x⁵
Chebyshev：最大误差约为6e-7，f(x) = 0.999995x-0.1666016x³+0.0081215x⁵

范围 = -pi/4 到 +pi/4，度数为7（4项）

Taylor：最大误差约为3e-7，f(x)=x-x³/6+x⁵/120-x⁷/5040
Chebyshev：最大误差约为1.2e-9，f(x)=0.999999986x-0.166666367x³+0.008331584x⁵-0.000194621x⁷

- Jason S

2

这个评论是错的。每种近似方式都有其适用的时间和场合。如果你对于任何级数近似的收敛区域没有足够的分析知识来确定，那么你就不应该使用它。这适用于泰勒、切比雪夫、帕德等级数。泰勒级数通常已经足够好了。 - kquinn

4

我不知道你是否和我一样，从未对在一个小区域内评估一个函数感兴趣。即使是在一个区间上进行快速的最小二乘拟合也非常容易。那些使用泰勒级数的人只是没有抓住重点。 - Jason S

2

点赞是因为回答者知道 Hart 的存在。:smile: Hart 在这里是经典参考，即使我在25年前购买（印刷版）时很难找到。它物有所值。尽可能进行范围缩减，并结合适当的近似方法，如 Pade、Chebychev，甚至适当的 Taylor 级数，是一个不错的方法。但通常情况下，Pade 或 Chebychev 近似是优于 Taylor 级数的选择。 - user85109

1

@dotancohen：那样做就错了：对于给定的精度，切比雪夫级数需要比泰勒级数更低阶的多项式。 - Jason S

3

有什么不同吗？从-2π到+2π使用17阶泰勒级数计算sin(x)可能会被7阶或9阶切比雪夫多项式超越。如果砍树时有时间限制，用手锯可能会有问题。用电锯会更好，这个说法我没有任何问题。也许我应该把“不应该”改成“我不建议使用泰勒级数”。当然，在某些情况下你可以使用泰勒级数，但精度和性能会有问题。这里的性能指的是CPU执行时间。 - Jason S

显示剩余8条评论

14

我认为它们是使用泰勒级数或CORDIC计算的。一些需要大量使用三角函数（游戏、图形）的应用程序在启动时构建三角表，以便可以直接查找值，而不必一遍又一遍地重新计算它们。

- Jon Galloway

6

查看维基百科文章以了解三角函数。学习实际在代码中实现它们的好地方是Numerical Recipes。

我不是很懂数学，但我对sin、cos和tan“来自”哪里的理解是，它们在处理直角三角形时被观察到。如果你测量一堆不同直角三角形的边长，并将这些点绘制在图表上，就可以得出sin、cos和tan。正如Harper Shelby所指出的那样，这些函数仅仅是直角三角形的属性。

通过了解这些比率与圆形几何的关系，可以获得更复杂的理解，从而导致弧度和所有相关知识的理解。维基百科中都有。

- Parappa

2

对于计算机而言，幂级数表示法最常用于计算正弦和余弦，并且这些函数也用于其他三角函数的计算。将这些级数展开到大约8项即可计算出所需的值，精度接近于机器epsilon（可以保存的最小非零浮点数）。

CORDIC方法更快，因为它是在硬件上实现的，但主要用于嵌入式系统而不是标准计算机。

- Joshua Howard

1

我想扩展@Jason S提供的答案。使用类似于@Jason S所描述的域细分方法，并使用Maclaurin级数逼近，可以在gcc编译器中使用-O3优化构建的tan（），sin（），cos（），atan（），asin（）和acos（）函数上实现平均（2-3）倍的加速。下面描述的最佳Maclaurin级数逼近函数实现了双精度精度。

对于tan（），sin（）和cos（）函数，为了简单起见，将重叠的0到2pi + pi / 80域分成81个相等的间隔，其中“锚点”位于pi / 80，3pi / 80，...，161pi / 80。然后计算并存储这些81个锚点的tan（），sin（）和cos（）。借助三角恒等式，为每个三角函数开发了单个Maclaurin级数函数。任何±无穷大之间的角度都可以提交给三角逼近函数，因为函数首先将输入角度转换为0到2pi域。此翻译开销包含在逼近开销中。

类似的方法也被开发用于atan()、asin()和acos()函数，其中一个重叠的-1.0到1.1域被分成21个相等的间隔，锚点分别为-19/20、-17/20、...、19/20、21/20。然后只存储这21个锚点的atan()值。再次利用反三角恒等式，为atan()函数开发了一个单一的Maclaurin级数函数。然后使用atan()函数的结果来近似asin()和acos()。

由于所有反三角近似函数都基于atan()近似函数，因此允许任何双精度参数输入值。但是，asin()和acos()近似函数的参数输入被截断为±1域，因为任何超出该域的值都是无意义的。

为了测试近似函数，强制评估了十亿个随机函数评估（即，不允许-O3优化编译器绕过评估某些计算结果不会被使用的内容）。为了消除评估十亿个随机数并处理结果的偏差，首先执行了一次没有评估任何三角或反三角函数的运行成本。然后从每个测试中减去这个偏差，以获得更具代表性的实际函数评估时间的近似值。

表2. 执行指定函数或函数10亿次所花费的时间（以秒为单位）。这些估计值是通过从表1的第一行显示的评估10亿个随机数的时间成本中减去表1中其余行得到的。

tan()所花费的时间：18.0515 18.2545

TAN3()所花费的时间：5.93853 6.02349

TAN4()所花费的时间：6.72216 6.99134

sin()和cos()所花费的时间：19.4052 19.4311

SINCOS3()所花费的时间：7.85564 7.92844

SINCOS4()所花费的时间：9.36672 9.57946

atan()所花费的时间：15.7160 15.6599

ATAN1()所花费的时间：6.47800 6.55230

ATAN2()所花费的时间：7.26730 7.24885

ATAN3()所花费的时间：8.15299 8.21284

asin()和acos()所花费的时间：36.8833 36.9496

ASINCOS1()所花费的时间：10.1655 9.78479

ASINCOS2()所花费的时间：10.6236 10.6000

ASINCOS3()所花费的时间：12.8430 12.0707

(为了节省空间，表格1未显示。) 表格2展示了两次独立运行每个近似函数十亿次评估的结果。第一列是第一次运行的结果，第二列是第二次运行的结果。函数名称中的数字“1”、“2”、“3”或“4”表示在Maclaurin级数函数中使用的项数，以评估特定的三角或反三角近似值。SINCOS#()表示同时计算sin和cos。同样，ASINCOS#()表示同时计算asin和acos。同时计算两个量几乎没有额外的开销。

结果显示，略微增加项数会略微增加执行时间，这是可以预料的。即使是最小的项数也可以在除tan()近似值接近±无穷大的地方以外的任何地方给出约12-14位的精度。人们期望即使是tan()函数在那里也会有问题。

在 Unix 上的高端 MacBook Pro 笔记本电脑和 Linux 上的高端台式计算机上获得了类似的结果。

- Roger Wehage

-6

如果你想要更深入地了解正弦、余弦和正切的物理意义，可以考虑它们与直角三角形的关系。实际的余弦值可以通过构建一个以 lambda 为角度的直角三角形，并将相邻于 lambda 的边长除以斜边长度来计算得出。对于正弦，同样使用对边长度除以斜边长度。对于正切，则使用对边长度除以邻边长度。记忆这个经典的助记符是 SOHCAHTOA（发音为 socatoa）。

- jeffD

网页内容由stack overflow 提供, 点击上面的

可以查看英文原文，
原文链接

- John D. Cook · Accepted Answer

首先，你需要进行一定程度的范围缩减。三角函数是周期性的，因此需要将参数缩减到标准区间内。起初，可以将角度缩减为0至360度之间。但是通过使用一些恒等式，您会意识到可以使用更少的内容来完成。如果您计算介于0和45度之间的角度的正弦和余弦，那么您可以以此为基础计算所有角度的所有三角函数。

一旦您缩减了参数，大多数芯片都使用CORDIC算法来计算正弦和余弦。你可能会听到人们说计算机使用泰勒级数。这听起来合理，但事实并非如此。CORDIC算法更适合于高效的硬件实现。（软件库可能在不支持三角函数的硬件上使用泰勒级数）。可能还有一些额外的处理，使用CORDIC算法得到相当好的答案，然后再做其他事情来提高精度。

以上还有一些优化。例如，对于非常小的角度theta（以弧度为单位），sin(theta) = theta，以你拥有的所有精度，因此直接返回theta比使用其他算法更有效率。因此，在实践中，有很多特殊情况的逻辑来挤出尽可能多的性能和精度。市场较小的芯片可能不会付出太多的优化工作。