二次贝塞尔曲线插值

Question

我希望得到一些AS2代码，以插值二次贝塞尔曲线。节点应该保持彼此间的距离恒定。基本上是让一个球沿着由3个点定义的非双曲二次贝塞尔曲线以恒定的速度动画化。

谢谢！

- user132295

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我已经看过一些复杂的数学内容，但它涉及到积分，而我不知道如何在AS2中进行。 - user132295

Answer 1

贝塞尔曲线的数学公式非常简单，我会帮助你理解它，然后你可以将其翻译成ActionScript。

一个二维的二次贝塞尔曲线由三个(x,y)坐标定义。我将它们命名为P0 = (x0,y0), P1 = (x1,y1)和P2 = (x2,y2)。此外，参数值t用于指定曲线上的任意位置，该值范围从0到1。所有的x,y和t变量都是实数（浮点数）。

二次贝塞尔曲线的方程为：

P(t) = P0*(1-t)^2 + P1*2*(1-t)*t + P2*t^2

因此，使用伪代码，我们可以像这样平滑地跟踪贝塞尔曲线：

for i = 0 to step_count
    t = i / step_count
    u = 1 - t
    P = P0*u*u + P1*2*u*t + P2*t*t
    draw_ball_at_position( P )

假设您已经按上述定义了点P0，P1和P2。如果您均匀分布控制点，则应沿曲线获得漂亮的均匀步骤。只需将step_count定义为您想要看到的曲线上的步数即可。

- Naaff

Answer 2

Naaff提出的解决方案是P(t) = P0*(1-t)^2 + P1*2*(1-t)*t + P2*t^2，这将为您提供正确的“形状”，但在[0:1]区间中选择均匀间隔的t将不会产生均匀间隔的P(t)。换句话说，速度不是恒定的（您可以对先前的方程式关于t进行微分来查看它）。

通常，以恒定速度遍历参数曲线的常见方法是通过弧长重新参数化。这意味着将P表示为P(s)，其中s是沿着曲线遍历的长度。显然，s从零变化到曲线的总长度。对于二次贝塞尔曲线，有一个封闭形式的解来表示弧长作为t的函数，但它有点复杂。在计算上，使用您喜欢的方法进行数值积分通常更快。但请注意，这个想法是计算反向关系，即t(s)，以便将P表示为P(t(s))。然后，选择均匀间隔的s将产生均匀间隔的P。

- Ewerton

Answer 3

请注意数学上可以更有效率地完成表达式。

P(t) = P0*(1-t)^2 + P1*2*(1-t)*t + P2*t^2

和

P = P0*u*u + P1*2*u*t + P2*t*t

两个式子都包含了乘法，可以简化。

例如：

C = A*t + B(1-t) = A*t + B - B*t = t*(A-B) + B = 你省去了一次乘法 = 性能翻倍。

- Martin malek

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虽然可能可以节省一些计算，但伯恩斯坦基础是本质上更加数值稳定的。因此，如果精度是一个关注点，多项式应该不被重新组织。诚然，在制作动画时这并不重要，但在CAD软件中却非常重要。 - Naaff