Python浮点数舍入误差问题

Question

我不知道这是否是一个明显的bug，但在运行用于改变模拟参数的Python脚本时，我发现delta=0.29和delta=0.58的结果缺失了。经过调查，我注意到以下Python代码：

for i_delta in range(0, 101, 1):
  delta = float(i_delta) / 100

  (...)

filename = 'foo' + str(int(delta * 100)) + '.dat'

当delta=0.28和0.29时，生成了相同的文件；delta为0.57和0.58时也是一样的。这是因为Python将float(29)/100返回为0.28999999999999998，而非0.29。但这不是系统性错误，不会发生在每个整数上。因此我创建了以下Python脚本：

import sys

n = int(sys.argv[1])

for i in range(0, n + 1):
  a = int(100 * (float(i) / 100))
  if i != a: print i, a

我无法看出这些存在舍入误差的数字中有任何规律。为什么会发生在这些特定的数字上？

- jpjandrade

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这只是IEEE 754浮点数的工作方式。我建议您四舍五入将浮点数转换回整数，而不是简单地截断。 - Steve Howard

这不是错误 - 在许多不同的编程语言中都很常见。有一些解决方法，但在这种情况下，最简单的解决方案可能就是在文件名中使用idelta。只需记住，默认情况下idelta不会传递到循环外部。 - Tadeck

#StdSOAnswer_1. 这就是浮点数的工作原理。 - S.Lott

@Tadeck 我会说这仍然是一个错误，只是现代计算机科学的普遍问题。 - user3064538

Answer 1

任何不能由2的幂次方准确表示的数字都无法准确地用浮点数表示；它需要被近似。有时，最接近的近似值会小于实际数字。

阅读《计算机科学家应该了解的浮点算术知识》，链接：http://download.oracle.com/docs/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html。

- Mark Ransom

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在发布相同的链接之前，我真的没有看到你发布了同样的文档链接。这只是表明它是一个非常好的参考资料。 - dr jimbob

@jimbob，我在原帖后一分钟添加了链接。这是一个经典，但我没有立刻找到它。 - Mark Ransom

对于Python爱好者来说，在Python教程中也有一个更短(且更易读)的章节专门讨论这个问题。 - Tim Pietzcker

Answer 2

由于浮点数的特性，它非常出名。

如果您想进行十进制算术而不是浮点运算，有库可以实现这一点。

E.g.,

>>> from decimal import Decimal
>>> Decimal(29)/Decimal(100)
Decimal('0.29')
>>> Decimal('0.29')*100
Decimal('29')
>>> int(Decimal('29'))
29

通常情况下，使用十进制可能过于浪费，而且在罕见情况下仍会出现四舍五入的错误，尤其是当数字没有有限的十进制表示时（例如任何分母不为1、2或5的分数 - 十进制基数的因数（10））。 例如：

>>> s = Decimal(7)
>>> Decimal(1)/s/s/s/s/s/s/s*s*s*s*s*s*s*s
Decimal('0.9999999999999999999999999996')
>>> int(Decimal('0.9999999999999999999999999996'))
0

因此，在将浮点数转换为整数之前，最好总是四舍五入，除非你需要一个向下取整的函数。

>>> int(1.9999)
1
>>> int(round(1.999))
2

另一种选择是使用fractions库中的分数类，它不会进行近似计算（仅在必要时添加/减去和乘以整数分子和分母）。

- dr jimbob

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嗯，实际上一个更好的例子是Decimal(1)/Decimal(3) * Decimal(3)，它不能以更高的精度产生1.0。"当基数不是10"应该是当小数在基数10下无法准确表示时。这个数字当然是十进制的。 - Derek Litz

@DerekLitz - 同意，我的回答有些草率。你的例子更简洁（虽然两者都是有效的）。应该写成当数字在十进制中没有有限小数表示时，这将发生在任何分数的分母不可被2或5整除时。（当然，“无法在十进制中准确地表示分数。当分母不能被2或5整除时，数字当然是以十进制表示的。”也不完全正确。数字没有基数。1/3 = 1 /（1+1+1）无论在哪个进制下都是准确的。写成分数形式后，它可以用十进制表示-1/3。） - dr jimbob

@dr_jimbob 我喜欢上面的改进，但是我不喜欢“数字没有基数”的说法。也许这只是语义上的差异，但是词语的意义很重要。一个数字应该代表一个值（或者如果你更喜欢的话，是数量）。为了创建一个计数系统，需要选择一个基数，选择符号，然后我们就可以比简单的计数更有效地进行沟通了，但我相信这就是你的意思 :) - Derek Litz

@DerekLitz - 是的，数字代表值，但只有数字的表示具有基数。 一、二、二十八、三分之二、π都是数字。 十进制表示分别为：1、2、28、1.5、3.14159...（十进制意味着基数为10），是的，数字名称通常与10进制有关。 在二进制（基数为2）中，它们将变成1、10、11100、1.1、11.0010 0100 0011 1111...，在十六进制中则为1、2、1c、1.8、3.243f... 数字具有特定的数学含义，指抽象对象（例如，数字2是零的第二个后继者：two = succ(succ zero)），与基数无关。 - dr jimbob

@DerekLitz - 我完全承认，这只是无端挑剔。我们所说的意思非常明显。 - dr jimbob

@dr_jimbob 我喜欢这些对话 :). 这更多是有关“数字”定义上的模糊，它可以表示代表数学值的抽象概念或者数学值本身。当我周围有数学类型的人时，我应该假设是后者，这是非常重要的知识 :) - Derek Litz