任何时候，当你要处理这些ALU项目（例如加、减、乘等）时，请从2或3位数字开始，比32或64位数字更容易掌握。在2或3位之后，无论是22位还是2200位，它们的工作方式都完全相同。基本上，如果你想要手动制作一个包含所有3位操作数及其结果的表格，以便可以通过视觉检查整个表格，但是对于所有32位操作数与其结果的表格，无法在合理的时间内手动完成，并且无法通过视觉检查整个表格。
现在，二进制补码只是一种表示正负数的方案，而不是任意的东西，它有一个原因，这种疯狂的原因是你的加法逻辑（减法器使用的也是同样类型的乘法器）不关心无符号或有符号。它不知道区别。在我的三位世界中，比特模式0b111可以是正七（+7），也可以是负一，同一比特模式，将其输入到加法逻辑中，得到的结果相同，我可以选择将结果解释为无符号或二进制补码（只要我将操作数和结果全部解释为无符号或全部解释为二进制补码）。二进制补码还具有这样的特征，即对于负数，最高有效位（msbit）被设置为1，对于正数，它为0。因此，它不是符号加大小，但我们仍然谈论msbit作为符号位，因为除了两个特殊的数字外，它告诉我们的是数字的符号，其他位实际上告诉我们的是大小，只不过它们不是你可能在符号+大小表示法中使用的无符号大小。
因此，这个问题的关键在于理解你的限制。对于一个3位无符号数字，我们的范围是0到7，0b000到0b111。对于一个3位有符号（
二进制补码）解释，我们的范围是-4到+3（0b100到0b011）。现在限制自己只使用3位，如果你把7加1，
0b111 + 0b001 = 0b1000，但我们只有一个3位系统，所以它是0b000，7+1=8，在我们的系统中不能表示8，所以这是一种溢出，因为我们刚好把位解释为无符号的，我们看到了"
无符号溢出"，也称为进位标志或标志位。现在如果我们以相同的位数但解释为有符号的，那么0b111 (-1) + 0b001 (+1) = 0b000 (0)。减一加一等于零。没有溢出，"有符号溢出"没有设置...什么是
有符号溢出？
首先，什么是"
无符号溢出"。
之所以"无论我们的寄存器有多少位，它都是一样的"，与小学数学的十进制数字没有任何区别。如果你把两个都在个位上的9和1相加，你会说9+1=0进位1。你把一个1带到十位上，然后是1加0加0（你在十位上填了两个零），是1进位0。你在十位上有一个1，在个位上有一个零：
1
09
+01
====
10
如果我们声明只能使用个位上的数字，那么就没有十位的位置了。但是，进位位非零意味着我们有一个溢出，在正确计算结果时需要另一列，二进制也是如此。
111
111
+ 001
=======
1000
7 + 1 = 8，但如果我们声明一个3位系统，我们无法得到8，我们可以通过设置进位位来得到7 + 1 = 0。这就是二进制补码的美妙之处：
111
111
+ 001
=======
000
如果您看上面的三位数相加，仅凭外观无法确定是7 + 1 = 0并设置了进位位，还是-1 + 1 = 0。
因此，对于无符号加法，我们从小学就知道，进位到下一列的值不为零，意味着我们溢出了那么多占位符，并需要一个额外的占位符，即需要一个额外的列来容纳实际答案。
有符号溢出。学术界的答案是，如果msbit列的进位与进位不匹配。让我们在我们的三位世界中举些例子。因此，使用二进制补码，我们被限制在-4至+3之间。所以如果我们加上-2 + -3 = -5，那行不通，对吧？
要找出减去两个的结果，我们进行反转并添加一个操作：0b010，反转后为0b101，再加1得到0b110。减去三个是0b011-> 0b100-> 0b101
现在我们可以这样做：
abc
100
110
+ 101
======
011
如果您看一下 b 下面的数字，那就是 msbit 列的“进位”，而 a 下面的数字 1，则是“溢出”，由于这两个数字不匹配，所以我们知道存在“有符号溢出”。
让我们试试 2 + 2 = 4：
abc
010
010
+ 010
======
100
你可能会说，看起来这没问题，因为使用了无符号数，但我们要进行有符号数的运算，所以结果实际上是-4而不是正4。2+2！= -4. 在b下面的“进位”是1，在最高有效位的“进位”是0，“进位”和“溢出位”不匹配。有符号溢出。
判断是否发生了有符号溢出有一种快捷方法，不需要查看“进位”（或“进位”）：
if ( msbit(opa) == msbit(opb) ) && ( msbit(res) != msbit(opb) ) 如果成立，则发生了有符号溢出；否则未发生有符号溢出。其中opa是一个操作数，opb是另一个操作数，res是结果。
010
+ 010
======
100
将这个式子+2 + +2 = -4。 msbit(opa)和msbit(opb)相等，结果的msbit与opb的msbit不相等，因此这是一个有符号溢出。您可以使用以下表格来思考：
x ab cr
0 00 00
0 01 01
0 10 01
0 11 10 signed overflow
1 00 01 signed overflow
1 01 10
1 10 10
1 11 11
这个表格展示了单列的所有可能组合，包括进位位、操作数a、操作数b、进位位和结果位。将头向左转动可以看到x代表进位位，a和b代表两个操作数。成对的"cr"是结果"xab"，011表示0+1+1=2十进制，即0b10二进制。因此，根据规则，如果进位位和进位后的位不匹配，就会发生有符号溢出。那么，当x列中的项目与c列中的项目不匹配时，就会出现这种情况，这些情况是a和b输入相互匹配，但结果位与a和b相反。因此，假设规则是正确的，这个快速的方法不需要知道进位位，就可以告诉你是否存在有符号溢出。
现在你正在阅读一本H&P书。这可能意味着MIPS或DLX，MIPS或DLX在处理进位和有符号标志方面与大多数其他处理器不同。在我看来，MIPS不是最好的第一个指令集，主要原因是它们的方法并没有错，但是作为一个另类，你会花费很长时间去思考不同之处，并且在转移到大多数其他处理器时需要进行翻译。如果您学习了典型的znvc标志（零标志、负标志、v=
有符号溢出、c=进位或
无符号溢出），那么只需要在转移到MIPS时进行翻译。通常，这些标志在每个ALU操作（对于非MIPS类型的处理器）上计算，您将看到加法和减法的有符号和
无符号溢出被计算。（我习惯于旧版的MIPS，也许这一代书籍和当前指令集有所不同）。在学习了有关加法器电路不关心有符号还是无符号的所有内容之后，立即称之为"addu add unsigned"是MIPS的一个巨大问题，它真正使你误解了这个简单的概念。导致人们相信有符号加法和无符号加法之间存在差异，而实际上只是溢出标志被计算方式不同。现在，对于乘法和除法，肯定存在
二进制补码和
无符号差异，理想情况下，您需要一个
有符号乘法和一个
无符号乘法，或者您需要解决这种限制。
我建议一个简单的练习（取决于你的位运算和二进制补码的强度），你可以用一些高级语言来编写。基本上，将无符号数字0到7的所有组合相加并保存结果。将它们以十进制和二进制（三位操作数，四位结果）打印出来，如果结果大于7，则打印溢出。使用数字-4至+3添加到-4至+3使用有符号变量重复此过程。打印带有+/-符号的十进制数和二进制数。如果结果小于-4或大于+3，则打印溢出。从这两个表格中，您应该能够看到上述规则是正确的。严格查看所允许的大小（在此情况下为三位），您将看到加法操作为给定输入对的结果提供了相同的结果，相同的位模式，不考虑这些位模式是否被视为无符号或二进制补码。另外，您可以验证当结果需要使用第四列时，
无符号溢出是指，msbit有一个
进位。对于有符号数，当
进位与
进位不匹配时，您可以使用快捷方式查看操作数和结果的msbit来看到。
更好的方法是让您的程序进行这些比较并打印出某些内容。因此，如果您在表格中看到一个注释，说明结果大于7，并且在表格中看到一个注释，说明结果中设置了位3，则对于无符号表格，这总是正确的（限于输入为0至7）。而更复杂的
有符号溢出则始终在结果小于-4且大于3以及操作数上位匹配且结果上位与操作数不匹配时发生。
我知道这非常长而且非常基础。如果我完全错过了要点，请评论并我会删除或重新编写此答案。
二进制补码的另一半神奇之处在于硬件没有减法逻辑。将其"反转并加一"是将其转换为二进制补码的一种方法。如果我想用二进制补码减去3-2，实际上相当于+3 + (-2)，然后从2到-2我们反转并加一.看看我们的小学加法，你注意到第一列的进位有个空洞了吗？
111H
111
+ 001
=======
1000
我在洞口上方标了一个 H。那么，那个“carry in”位是加到操作数中的，对吗？我们的加法逻辑不是两个输入的加法器，而是三个输入的加法器，是吗？大多数列必须添加三个一位数字才能计算出两个操作数。如果我们在第一列使用一个三输入加法器，现在就有一个地方可以…添加一个。如果我想要执行减法 3-2 = 3 + (-2) = 3 + (~2) + 1，即：
1
011
+ 101
=====
在我们开始填写之前，需要注意以下几点：
1111
011
+ 101
=====
001
3 - 2 = 1.
这个逻辑的作用是：
如果是加法，则进位=0；b操作数不被反转，进位不被反转。如果是减法，则进位=1；b操作数被反转，进位可能被反转。
上面的加法显示了一个进位，我没有提到这是一个无符号运算3-2=1。我使用了一些二进制补码技巧来执行无符号运算，因为无论我将操作数解释为带符号还是无符号，对于加法或减法都适用相同的规则。我说进位可能被反转是因为有些处理器会反转进位，而有些不会。这与级联操作有关，例如使用进位标志和带进位或带借位的加法或减法指令创建64位加法或减法，或者任何基本寄存器大小的倍数。假设您在32位系统中有两个64位数字a:b+c:d，其中a:b是64位数字，但它保存在a和b两个寄存器中，其中a是上半部分，b是下半部分。因此，在32位系统上无符号运算具有进位位和带进位的加法：
add f,b,d
addc e,a,c
在状态寄存器的进位标志中，加法指令从最高位的进位位置处留下其carry out位，而addc指令是带进位加法，它将操作数a+c相加，如果进位位被设置，则再加1。即a+c+1，并将结果放入e寄存器，将carry out放入进位标志中，因此：
add f,b,d
addc e,a,c
addc x,y,z
这是一个96位的加法，对于MIPS来说，这很陌生，因为它不像其他处理器一样使用标志。在有符号进位的情况下，借位或不借位取决于特定处理器的带借位减法。对于减法：
如果是减法，则进位=1；b操作数被反转，可能会反转进位。
对于带借位减法，您必须说明状态寄存器中的进位标志是否表示借位，如果是，则进位为0，否则进位为1，并且您必须将进位输出到状态寄存器以指示借位。
基本上，对于普通的减法，某些处理器会在输入时反转b操作数和进位，然后在输出时反转进位和进位，而某些处理器会在输入时反转b操作数和进位，但在输出时不会反转进位。然后，当您想要进行条件分支时，您需要知道进位标志是否表示大于还是小于（通常语法将有一个“如果大于跳转”或“如果小于跳转”，有时会告诉您哪一个是当进位设置或进位清除时简化的分支）。 （如果您不理解我刚才说的话，那么这是另一个同样冗长的答案，只要您在学习MIPS，就不会有任何意义。）
