正交基的四元数

Question

我有一个抛射物体，它沿着速度向量移动。我需要确保该对象始终面向速度向量的方向。此外，我使用四元数表示对象旋转，而不是矩阵。

我知道第一步是找到一个正交基：

forward = direction of velocity vector
up = vector.new(0, 1, 0)
right = cross(up, forward) 
up = cross(forward, right)

我该如何将基础转换为旋转四元数？

解决方法

注意，我要感谢Noel Hughes提供了答案，但是我想用自己的经验进行澄清。伪代码如下：

   vec3 vel = direction of velocity vector
   vec3 forward = (1, 0, 0)  // Depends on direction your model faces. See below.
   vec3 axis = cross(forward, vel)
   if (axis == 0) then quit // Already facing the right direction!
   axis = normalize(axis)
   float theta = acos(vel.x/sqrt(vel.x^2, vel.y^2, vel.z^2))
   quat result = (0, axis.y * sin(theta/2), axis.z * sin(theta/2), cos(theta/2)

四元数的最后一个元素是标量部分，前三个元素是虚数部分。此外，上面的伪代码假定您的物体在“模型空间”中沿着正X轴指向下方。在我的情况下，物体实际上指向正Y轴，因此我进行了以下更改：

   vec3 vel = direction of velocity vector
   vec3 forward = (0, 1, 0)  // Note that y-component is now 1
   vec3 axis = cross(forward, vel)
   if (axis == 0) then quit 
   axis = normalize(axis)
   float theta = acos(vel.x/sqrt(vel.x^2, vel.y^2, vel.z^2))
   quat result = (axis.x * sin(theta/2), 0, axis.z * sin(theta/2), cos(theta/2)
   // Note that SECOND component above is now 0

- Matt Fichman

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请参考此答案，该答案考虑了世界上的轴，以防止四元数滚动。 - Phrogz

Answer 1

我假设您在意的只是把弹丸的纵向轴与速度矢量对齐，而不关心其方向，而纵向轴是 (1, 0, 0)。

您走在了正确的路上。将速度矢量 (vx, vy, vz) 规范化为 (vx, vy, vz)/sqrt(vx^2 + vy^2 + vz^2)，并用它与 x 轴叉乘规范化结果 - (0, yn, zn) - 这是四元数的旋转轴。旋转角度简单地是 theta = vx/sqrt(vx^2 + vy^2 + vz^2) 的反余弦值。结果四元数为

(0, yn, zn)sn(theta/2) cos(theta/2)

如果您有任何问题，请告诉我。

Noel Hughes [e-mail]

- noel hughes

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那么，我可以使用（0，yn，zn）作为旋转轴，theta作为旋转角度来构建四元数吗？我有一种用这种方式创建四元数的方法：qx = ax * sin(angle/2) qy = ay * sin(angle/2) qz = az * sin(angle/2) qw = cos(angle/2) - Matt Fichman

我希望这个答案不要忽略弹丸的“方向”(滚动)，也不要忽略“上”轴。这个答案对于弹丸来说还可以，但对于相机来说不好！ - Phrogz

Answer 2

这里有一个更符合题目的解决方案："基于正交基向量的四元数"

以上的问题和答案解决了将四元数与向量对齐（“指向”），但忽略了扭曲（方向）。完整的规范正交基包括方向、上下和侧面（其中一个是多余的，但不能是两个）。原始问题只考虑方向。

一种从正交基向量生成四元数的解决方案是将3x向量放入矩阵的列中，然后将矩阵转换为四元数。然而，这种方法需要额外的矩阵存储（16个浮点数）以及相当缓慢。

通过编写基向量a，b，c并将其插入矩阵到四元数的转换中，可以找到更好的解决方案，其中元素是显式的。（该矩阵是按列主序，OpenGL形式）

m[0][0] = a.x, m[1][0] = a.y, m[2][0] = a.z
m[0][1] = b.x, m[1][1] = b.y, m[2][1] = b.z
m[0][2] = c.x, m[1][2] = c.z, m[2][2] = c.z

现在，我们使用替换的正交向量a、b、c来重写矩阵到四元数的函数。结果是以下函数：

// Quaternion from orthogonal basis
Quaternion& Quaternion::toBasis (Vector3DF a, Vector3DF b, Vector3DF c)
{
    float T = a.x + b.y + c.z;
    float s;
    if (T > 0) {
        float s = sqrt(T + 1) * 2.f;
        X = (b.z - c.y) / s;
        Y = (c.x - a.z) / s;
        Z = (a.y - b.x) / s;
        W = 0.25f * s;
    } else if ( a.x > b.y && a.x > c.z) {
        s = sqrt(1 + a.x - b.y - c.z) * 2;
        X = 0.25f * s;
        Y = (a.y + b.x) / s;
        Z = (c.x + a.z) / s;
        W = (b.z - c.y) / s;
    } else if (b.y > c.z) {
        s = sqrt(1 + b.y - a.x - c.z) * 2;
        X = (a.y + b.x) / s;
        Y = 0.25f * s;
        Z = (b.z + c.y) / s;
        W = (c.x - a.z) / s;
    } else {
        s = sqrt(1 + c.z - a.x - b.y) * 2;
        X = (c.x + a.z) / s;
        Y = (b.z + c.y) / s;
        Z = 0.25f * s;
        W = (a.y - b.x) / s;
    }
    normalize();
    return *this;
}

该函数直接从正交基向量a，b，c中给出四元数（X，Y，Z，W）而不需要中间存储矩阵。（矩阵以上为列主要，OpenGL形式）。您仍然需要归一化四元数。如果您有一个方向和上向量，比如相机，您可以构建基础知识：a=dir，b=up，c=cross（dir，up）

- ramakarl

Answer 3

我建议你看一下vecmath库（Java）。它已经存在很长时间了，我们社区也在使用它。它基于四元组，如果没有转换的简单方法，我会感到失望。

我还建议编写预期结果的单元测试。很容易混淆正负、左右手和移动/参考框架。从简单的（例如xyz）开始，确保你得到了正确的答案。

- peter.murray.rust