计算子弹命中目标所需的速度的2D游戏算法？

Question

计算子弹命中目标所需的速度的2D游戏算法？

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我有一个相当简单的2D游戏，其中塔形精灵通过向移动精灵发射子弹来防御进攻。我的问题是：如果子弹速度始终保持不变，我该如何计算所需的子弹速度，使其能够到达移动目标？

我使用JavaScript，并拥有这些精灵变量（以及其他变量）：sprite.x、sprite.y、sprite.width、sprite.height、sprite.speedX（即速度）、sprite.speedY等等。因此，我有源精灵（originSprite）、目标精灵（targetSprite）和子弹精灵（bulletSprite）等对象，它们都具有这种类型的值，我需要设置正确的子弹精灵速度值。

为了让游戏效果更好，子弹可能会从源精灵的外部开始（或某个定义的半径，虽然我想从源精灵中心开始也可以），但其子弹中心应该试图命中目标精灵的中心或类似的位置。请注意，在这个世界里没有重力或任何其他影响。（也许我应该让我的精灵变量使用角度和速度，但现在我正在使用speedX和speedY...）

非常感谢！

- Philipp Lenssen

我不明白你的问题。你能给一个例子吗？ - Sjoerd

我们讨论的是一个塔防克隆游戏，其中进攻目标可能在子弹飞行时拐过角落，还是假定目标会直线移动？ - deceze

举个例子，Sjoerd，有一个静态的精灵，我们称之为射手，还有一个移动的精灵，我们称之为移动者。射手有一定的距离开始看到敌人移动者，并且“知道”敌人的速度，然后尝试开火。射手的子弹始终以恒定的速度运行，因此如果说射手正好在移动者下方，而移动者正在向下移动，那么子弹的speedX将为0，而bullet.speedY将为-1。 - Philipp Lenssen

Deceze，这个塔始终会假设目标沿着直线且以恒定速度移动（实际上目标可能偶尔会碰撞某处并改变方向，但是塔不会计算这一点或者“知道”这一点，即使在边界情况下，塔也可能错过其目标，但这没关系）。 - Philipp Lenssen

5个回答

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一些物理见解

1）对于目标是“点对象”

因此，您需要解决矢量方程：

Position_bullet [ time=t₁ > t₀ ] == Position_target [ time=t₁ > t₀ ] -- (Eq 1)

其中位置由运动（也是矢量）方程给出:

Position_object [ t ] = Position_object [ t₀ ] + Speed_object * ( t - t₀ )

现在，子弹能够到达目标的条件是方程式1有x和y的解。让我们写出x的方程式:

X_bullet [ t₀ ] + SpeedX_bullet * ( t - t₀ ) = X_target [ t₀ ] + SpeedX_target * ( t - t₀ )

因此，对于碰撞时间，我们有：

( t_Collision - t₀ ) = (x_target [ t ₀ ] - x_bullet [ t₀ ] ) / (SpeedX_bullet - SpeedX_target) -- (Eq 2)

由于我们需要t>t₀的解，这意味着对于有拦截的情况而言：

Sign ( x_target[ t₀ ] - x_bullet[ t₀ ] ) = Sign ( SpeedX_bullet - SpeedX_target ) -- (Eq 3)

这告诉我们一个明显的事实，如果一个物体比另一个物体移动得更快，并且在同一方向上，它们最终会碰撞。

从方程式2中，您可以看到对于给定的SpeedX_target，存在无限个t和SpeedX_bullet的解（如其他答案所指出的），因此我认为您的规格说明不完整。

我猜（正如我在另一个答案中所述的评论）您正在考虑一种“塔防”类型的游戏，其中您的子弹有限的射程。
因此，您还需要另一个限制条件：
距离 [Position_target[t_Collision - t₀] - Position_bullet[t₀]] < BulletRange -- (Eq 4)
这仍然允许无限的解，但由于目标可能超出范围，上限值由碰撞时间确定。
此外，距离由以下公式给出：
距离[v,u]= +Sqrt[(Vx-Ux)^2 + (Vx-Vy)^2]
因此，方程4变为：
(X_target[t_Collision - t₀] - X_bullet[t₀])² + (Y_target[t_Collision - t₀] - Y_bullet[t₀])² < BulletRange² -- (Eq 5)
请注意，{X_bullet[t₀], Y_bullet[t₀]}是塔的位置。
现在，在方程5中替换目标位置的值：
(X_target[t₀] + SpeedX_target * (t-t₀) - X_bullet[t₀])² + (Y_target[t₀] + SpeedY_target * (t-t₀) - Y_bullet[t₀])² < BulletRange² -- (Eq 6)
称初始距离为：
Dxt0 = X_target[t₀] - X_bullet[t₀]
和
Dyt0 = Y_target[t₀] - Y_bullet[t₀]
方程6变为：

(Dtx0 + SpeedX_target * (t-t₀) )² + (Dty0 + SpeedY_target * (t-t₀))² < BulletRange² -- (Eq 7)

这是一个要在 t-t₀ 中解决的二次方程。正解将给出我们允许的最大碰撞时间。之后目标将超出范围。

现在调用

Speed_target ² = SpeedX_target ² + SpeedY_target ²

和

H = Dtx0 * SpeedX_target + Dty0 * SpeedY_target

T_{Collision Max} = t₀ - ( H +/- Sqrt ( BulletRange² * Speed_target ² - H² ) ) / Speed_target ²

因此，您需要在此时间之前产生碰撞。平方根的符号应该被取为时间大于 t₀。

After you select an appropriate flying time for your bullet from the visual 
effects point of view, you can calculate the SpeedX and SpeedY for the bullet 
from

SpeedX_bullet = ( X_target [ t₀ ] - X_bullet [ t₀ ] ) / ( t_Collision - t₀ ) + SpeedX_target

SpeedY_bullet = ( Y_target [ t₀ ] - Y_bullet [ t₀ ] ) / ( t_Collision - t₀ ) + SpeedY_target

2) 对于目标和塔的 "广阔物体"

现在，将目标替换为半径为R的圆形，问题就变得简单了。您所得到的是子弹的“扩展射程”。这个扩展范围就是R。

所以，将BulletRange替换为（BulletRange + R），您会得到新的最大允许碰撞时间方程式。

如果您还想考虑炮塔的半径，同样的考虑也适用，可以得到一个“双倍扩展范围”：

NewBulletRange = BulletRange + R_Target + R_Tower

无尽子弹射程

如果您决定某些特殊子弹不应有射程（和探测）限制，仍然会受到屏幕边界的约束。但这需要更复杂的计算，请在评论中提出需求，我会尝试解答。

- Dr. belisarius

3

使用向量可以使得相关的数学问题变得更加简单。Sylvester似乎是JavaScript中一个很有前途的向量实现，但是为了我的示例，我会编写自己的向量函数。我还会假设.x / .y是从左上角开始测量的。

// this is a "constant"  - representing 10px motion per "time unit"
var bulletSpeed = 10; 
// calculate the vector from our center to their center
var enemyVec = vec_sub(targetSprite.getCenter(), originSprite.getCenter());
// measure the "distance" the bullet will travel
var dist = vec_mag(enemyVec);
// adjust for target position based on the amount of "time units" to travel "dist"
// and the targets speed vector
enemyVec = vec_add(enemyVec, vec_mul(targetSprite.getSpeed(), dist/bulletSpeed));
// calculate trajectory of bullet
var bulletTrajectory = vec_mul(vec_normal(enemyVec), bulletSpeed);
// assign values
bulletSprite.speedX = bulletTrajectory.x;  
bulletSprite.speedY = bulletTrajectory.y;  

// functions used in the above example:

// getCenter and getSpeed return "vectors"
sprite.prototype.getCenter = function() { 
  return {
    x: this.x+(this.width/2), 
    y: this.y+(this.height/2) 
  }; 
};

sprite.prototype.getSpeed = function() { 
  return {
    x: this.speedX, 
    y: this.speedY 
  }; 
};

function vec_mag(vec) { // get the magnitude of the vector
  return Math.sqrt( vec.x * vec.x + vec.y * vec.y); 
 }
function vec_sub(a,b) { // subtract two vectors
  return { x: a.x-b.x, y: a.y-b.y };
}
function vec_add(a,b) { // add two vectors
  return { x: a.x + b.x, y: a.y + b.y };
}
function vec_mul(a,c) { // multiply a vector by a scalar
  return { x: a.x * c, y: a.y * c };
}
function vec_div(a,c) { // divide == multiply by 1/c
  return vec_mul(a, 1.0/c);
}
function vec_normal(a) { // normalize vector
  return vec_div(a, vec_mag(a)); 
}

- gnarf

运行得非常好。（对于其他人复制此内容的提示，在一个地方，您需要将veg_mag更改为vec_mag。）我必须尝试一下找到正确的bulletSpeed值，然后子弹准确地击中了它们移动的目标。谢谢！！ - Philipp Lenssen

1

计算射手和目标之间的距离：dist = sqrt((xt - xs)^2 + (yt - ys)^2)
将x和y距离除以上面的值：nx = (xt - xs)/dist; ny = (yt - ys)/dist;（向量标准化）
通过乘以一个因子来得到每个时间单位的n像素，即每个方向的速度。它应该在所需的方向上给出一个恒定的速度。

- PhiLho

这完全没有考虑到目标的速度，因此除非目标直接朝向或远离射手，否则会错过。 - Chris

0

我假设目标沿着匀速直线运动。

如果子弹的方向和速度都是可变的（即您试图计算子弹的speedX和speedY），则有无限多个解。

如果您设置一个固定的方向，那么您只需相交子弹和目标的两条直线。通过目标当前位置与交点之间的距离（和目标的速度），您可以计算出目标到达此交点所需的时间。

通过子弹原点与交点之间的距离（和之前计算的时间），您可以计算出子弹的速度。

- MartinStettner

规格说明中缺少某些内容。我猜想这就是子弹的射程。如果操作员指定了射程，那么解决方案的数量也将是无限的，但是子弹将有一个最小速度（即与目标在该射程交点处相交的速度）。 - Dr. belisarius

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可以查看英文原文，
原文链接

- Christian · Accepted Answer

将目标精灵视为二维空间中的一条直线，其中：

A(time) = (sprite.positionX + sprite.speedX * time, sprite.positionX + sprite.speedX * time)

由于您的子弹速度恒定，您也知道：

bullet.speedX^2 + bullet.speedY^2 = bullet.definedSpeed^2

然后您还可以为子弹计算一条直线：

B(time) = (bullet.positionX + bullet.speedX * time, bullet.positionX + bullet.speedX * time)

你知道这两条线都会在某个地方相交：

A(time) = B(time)

接下来，你需要用给定的数值解决这些方程，并寻找time的最小值。