在C++中将高斯曲线拟合到某个直方图峰值

Question

我有两个关于拟合高斯曲线到直方图峰值的问题。 我的第一个问题非常基础： 如何将高斯曲线拟合到整个直方图？这是否只意味着我需要找出并计算直方图的均值（µ）和偏差（ϭ），并将它们放入高斯曲线的公式中？

以下示例是否正确？： 假设（仅作为示例），我有一张图像的直方图，其中包含5种颜色值。在X轴上有这5种颜色值，在Y轴上有每种值的频率。 即：

值1：1次

值2：4次

值3：7次

值4：3次

值5：2次

现在平均值（µ）将是3（µ = 3）。

而偏差（ϭ）将是0.9（ϭ = 0.9）。 公式：

现在，我将这些值用于密度函数的公式中来计算我的高斯曲线？

这样正确吗？不幸的是，我的数学背景有点不确定。

2. 我的第二个问题有点棘手： 这一次，我有一个带有多个峰值的直方图，但我只想将高斯曲线拟合到最高峰。 因此，我通过简单的for循环遍历直方图的所有bin，并找到x轴上的一个强度值（其中包含图像的强度）， 具有最多的频率（显示在y轴上）。 这将是最高峰。 但是如何找出偏差？ 特别是，因为我不知道应该在我的计算中包括哪些强度值。 据我所知，高斯曲线的转折点位于µ+ϭ和µ-ϭ。那能帮助解决问题吗？

很抱歉这个问题有点数学，但我没有找到更好的地方可以问。 我还阅读了一些类似的主题，但不幸的是它们最终没有回答我的问题。

谢谢你的帮助！

敬礼，马克

- Marc

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我在这里没有看到任何编程问题。 - anon

当然，这是一道编程问题。这种计算通常通过编写计算机程序来解决。这就是它们被称为计算机的原因。也许你只是遇到了一个无法回答的编程问题；-) - Niki

Answer 1

你的针对单个峰值的简单方法应该可以。[顺便说一下，如果它与图像有关，我认为这是一个编程问题。]

多个峰值更难处理。解决峰值的过程称为去卷积 (http://en.wikipedia.org/wiki/Deconvolution)，通常没有唯一的答案。您可能需要决定有多少个峰值，或峰值的最小方差是多少（否则您可能会为每个 bin 创建一个峰值:-)）。

- peter.murray.rust

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我认为如果所有高斯曲线具有相同的方差，仅反卷积可能会解决问题。 - Niki

不是的，但它确实使事情变得更容易。您没有说明您的多模性是由什么引起的，但我预计多个峰大致是等变的。 - peter.murray.rust

Answer 2

我认为你对单个高斯参数的估计方法是正确的。

如果涉及到多个高斯分布，你可能需要查阅混合模型或更具体的高斯混合模型。以下是一些注意点：

1. （你可能已经知道）混合中最强的高斯分布不一定是峰值最高的那一个。
2. 如果你有两个均值不同的高斯分布之和，则直方图中的峰值将不匹配均值。
3. 仅使用离散直方图中的单个峰值可能不是一个好主意：实际峰值可能位于两个直方图箱之间。[澄清：在这种情况下，两个箱子中的计数可能显著低于居中的峰值。] 此外，对于大多数类型的数据，您的直方图将包含很多噪音。请至少在直方图上使用某种平均滤波器。

- Niki