如何计算曲线上的点？

Question

我正在为wpf编写自定义动画，并且作为一个非数学专业的人，我有几个问题...

如果我有两个Point3D，From和To，假设原点在0,0,0处，如何计算两点之间的曲线？

一旦我绘制出曲线并知道其长度（如何实现？），如何计算沿着该线某个给定距离处的x、y、z坐标？

谢谢！

- Nicros

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你可能想在http://mathoverflow.net/上发布这个问题，然后再回到这里寻求实现建议。这是一个好问题...当你得到解决方案时，把它存起来...几年后它会再次出现，就像我一样，你会忘记数学。现在...我把它归档到哪里了？曲线？图形？...糟糕。 - Rusty

当你说你想要一条“曲线”时，这听起来不仅仅是想要一个连接两个点的直线，而是想要一条曲线连接你的端点和中间的一些其他点。也许可以先了解一下样条曲线和NURBS。 - FrustratedWithFormsDesigner

你应该明确指定你想要的曲线类型：有无限多个曲线经过两个点。编辑：如果你想要一个样条曲线，至少需要三个点。 - nico

@Rusty：mathoverflow.net是专为专业数学家和高级学生而设的；这个问题可能会被认为过于基础，因此不适合在那里讨论。 - Jim Lewis

Wpf有贝塞尔曲线构造。贝塞尔曲线非常容易被普通人理解，并且在许多图形应用程序中广泛用作动画首选的曲线。因此，您可以通过Google搜索找到大量信息和代码示例。请查看：https://dev59.com/o03Sa4cB1Zd3GeqPtTvP。 - Rusty

Answer 1

要从点A到点B得到一条直线向量：

B - A

这可以翻译为：

vector.x = b.x - a.x;
vector.y = b.y - a.y;
vector.z = b.z - a.z;

长度是：

length = Math.Sqrt(vector.x * vector.x +
                   vector.y * vector.y +
                   vector.z * vector.z);

为了沿着向量得到一定距离的点，您需要将该向量转换为单位向量（长度为1）：

 vector.x = vector.x / length;
 ...

然后乘以您的距离：

 vector.x = distance * vector.x;
 ...

这全是从记忆中写的，所以可能不能直接编译。

在CodeProject上有一个名为"A Vector Type for C#"的向量类型，可以为您完成很多工作。

如果您想要一条曲线，则需要：

a）定义您想要的曲线类型（弧、样条等）；

b）更多的点（中心、控制点等）。

- ChrisF

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你可以看一下我上面的评论，但说实话，我不知道我想要什么样的曲线——我只知道这两个点必须存在于一个包围我的原点的表面上——基本上球体或椭球体是我唯一的两个选择... - Nicros

Answer 2

你可能希望将曲线表示为某个其他变量的参数函数集合：

x = f(t)
y = g(t)
z = h(t)

where 0 <= t <= 1, and

f(0) = from.x, f(1) = to.x
g(0) = from.y, g(1) = to.y
h(0) = from.z, h(1) = to.z

连接任意两点的曲线有无限多条，因此您需要更多信息来决定f(t)、g(t)和h(t)应该采取什么形式。要沿着曲线移动一个点，只需让t在0到1之间变化并计算x、y和z坐标。一种方法是定义一组控制点，使您的曲线通过（或接近）这些点，然后用样条函数表示您的参数方程。您不需要知道曲线的弧长来完成这个过程。

- Jim Lewis

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谢谢回复！我在上面发了几条评论，但基本上，我的想法是我的两个点位于一个闭合曲面上-一个球体或一个椭球体。因此，考虑到原点和这两个点，我需要在给定时间（或沿着该线的距离）获取xyz位置。 - Nicros

Answer 3

所以我想跟进一下我的解决方案-虽然曲线有无限多个，但我的问题（措辞不当）是如何在曲线上两点之间绘制最短距离，假设原点为0,0,0和两个3D点。我所做的是将我的点从笛卡尔坐标系转换为极坐标系，计算给定时间的球面点，然后将该点转换回笛卡尔坐标系。如果有人想让我发布实际的C#代码，请告诉我。

- Nicros