Mathematica：展示极坐标形式的复数

Question

我希望以三角形式显示复数。例如：

z = (-4)^(1/4);

我不确定这个命令是什么，而且写成这样很傻:

我认为，命令应该是ExpToTrig，但解决方案不可能只是1+i（或者可以吗，我在误用它？）。如何以三角形式显示复数。

编辑:

命令是ExpToTrig，它只给出了部分解决方案（或者我没有找到如何使用它）。最终通过编写一个纯函数NrootZpolar[n][z]来解决我的问题:

NrootZpolar := 
 Function[x, 
  Function[y, 
       ( Abs[y] ^ (1/x) *
       ( Cos[((Arg[y] + 360° * Range[0, x - 1]) / x)] + 
       I*Sin[((Arg[y] + 360° * Range[0, x - 1]) / x)]))
  ]
 ]

并使用：

In[689]:= FullSimplify[NrootZpolar1[4][-4]]
Out[689]= {1 + I, -1 + I, -1 - I, 1 - I}

可视化：

ComplexListPlot[list_] := ListPlot[Transpose[{Re[list], Im[list]}], AxesLabel -> {Re, Im}, PlotLabel -> list, PlotMarkers -> Automatic]
Manipulate[ComplexListPlot[FullSimplify[NrootZpolar1[n][z]]], {z, -10, 10}, {n, 1, 20}]

- Margus

---

你的最终代码没有给出你期望的答案，原因是 /4 的位置不正确。它不应该影响到 Arg[x] 项。将右括号 ) 向右移动几个字符，就可以解决问题了。 - Simon

在您提供的图像中也犯了同样的错误。顺便说一下，为了书写漂亮的公式，您不应该使用普通的“Input”单元格。相反，右键单击笔记本并选择“插入新单元格> DisplayFormula”。 - Simon

Answer 1

您可以用极坐标形式 r(cos theta + i sin theta) 表示一个复数 z，其中 r = Abs[z]，theta = Arg[z]。因此，您只需要使用 Mathematica 中的 Abs[] 和 Arg[] 命令。

- John D. Cook

Answer 2

如果您只需要偶尔这样做，那么您可以定义一个函数，例如：

In[1]:= ComplexToPolar[z_] /; z \[Element] Complexes := Abs[z] Exp[I Arg[z]]

以便

In[2]:= z = (-4)^(1/4);
In[3]:= ComplexToPolar[z]
Out[3]= Sqrt[2] E^((I \[Pi])/4)

In[4]:= ComplexToPolar[z] == z // FullSimplify
Out[4]= True

对于展开函数（注意这不是你问题的一部分），你可以使用

In[5]:= ComplexExpand[, TargetFunctions -> {Abs, Arg}]

最后，如果您总是希望以极坐标形式书写复数，则可以使用类似以下的代码：

In[6]:= Unprotect[Complex];
In[7]:= Complex /: MakeBoxes[Complex[a_, b_], StandardForm] := 
 With[{abs = Abs[Complex[a, b]], arg = Arg[Complex[a, b]]}, 
  RowBox[{MakeBoxes[abs, StandardForm], 
    SuperscriptBox["\[ExponentialE]", 
      RowBox[{"\[ImaginaryI]", MakeBoxes[arg, StandardForm]}]]}]]

将使转换自动化

In[8]:= 1 + I
Out[8]= Sqrt[2]*E^(I*(Pi/4))

请注意，这仅适用于显式复数——即那些具有Complex[a,b]的FullForm。如果您不对其使用Simpify之类的函数，则它将无法处理上面定义的z。

- Simon

---

另请参阅 https://groups.google.com/d/topic/comp.soft-sys.math.mathematica/Fz9xvjKRlsA - Simon

Answer 3

从数学角度来看，(-1)^(1/4) 是符号滥用。这样的数字并不存在。

使用这种滥用符号表达的是方程的根：

z^4 == 1  

在Mathematica中（就像一般的数学一样），使用弧度比使用角度更方便。以弧度表示，您可以定义例如：

 f[z1_,n_] := Abs[z] (Cos[Arg[z]] + I Sin[Arg[z]]) /.Solve[z^n+z1 == 0, z,Complex]

或者

g[z1_,n_] := Abs[z] (Exp [I Arg[z]]) /.Solve[z^n+z1 == 0, z,Complex]  

根据你的记号偏好（三角形式或指数形式......但后者更为推荐）。

要获取(-4)^(1/5)的所需表达式，只需输入：

g[4,5] or f[4,5]

- Dr. belisarius

---

你的回答是唯一一个解决了提问者可能存在的潜在问题，即w=z^n的n个不同根的答案。 - Simon

@Simon 我猜问题不在于Mathematica本身，而在于理解“基数”运算符作为指数的多值逆运算。我试图解决这个问题... - Dr. belisarius