测量沿椭圆的距离

Question

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假设我们有一个椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2。

在椭圆上取一点(a*cos(t), b*sin(t))，如何最快地找到另一点，使它们之间的距离是给定的d呢？[d小于pi*a*b]。

当我有一个角落[四分之一椭圆]并需要找到沿着它分隔为一些'd'的点时，遇到了这个问题。

- Anil Shanbhag

3

您的意思是沿着圆周距离，还是沿着弦长距离？ - NPE

1

这可能会有所帮助：http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral#Complete_elliptic_integral_of_the_second_kind。 - R. Martinho Fernandes

2

一种计算方法是找到椭圆上的对称点，然后沿着距离的两侧使用二分搜索。 - Peteris

1

这是一个“难”问题。如果你想要快速解决它，你就必须近似处理它（如果你想知道原因，可以谷歌搜索“椭圆弧长”）。 - etarion

问题是要沿着圆周找到 - 因此二分查找不起作用。是的，我看了第二类椭圆积分，我想知道最快的实现方式是什么。 - Anil Shanbhag

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2个回答

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椭圆弧的长度没有解析解。这意味着你不能将数字代入方程中得出结果，而是要使用数值积分的方法。

Simpsons rule非常容易实现，尽管可能比其他答案中提到的方法慢。

现在，你已经有了一种找到椭圆弧长度的方法，只需测量不同的端点，直到找到一个长度为d的可接受公差。

- ggStack

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可以查看英文原文，
原文链接

- Dov · Accepted Answer

椭圆的子段长度是一个椭圆积分，没有封闭形式的解决方案。

为了计算沿着椭圆的距离，你需要一个数值积分程序。我建议使用Romberg或Gauss Quadrature（在维基百科上查找）。如果您需要重复执行此操作，则预先计算沿着椭圆周围的一堆点的距离，以便您可以快速到达正确的区域，然后开始积分。

您需要使用二分法（在维基百科上查找）来找到所需的长度。