如果椭圆的主轴是垂直或水平的，那么计算其边界框就很容易，但如果椭圆被旋转了呢？
目前我能想到的唯一方法就是计算周长上的所有点，并找到最大/最小 x 和 y 值。看起来应该有更简单的方法。
如果存在一个描述任意角度下椭圆的函数（数学意义上的），那么我可以使用它的导数来找到斜率为零或未定义的点，但我似乎找不到这样的函数。
编辑：为了澄清，我需要轴对齐的边界框，即它不会随着椭圆旋转而旋转，而是与 x 轴保持对齐，因此转换边界框是行不通的。
13个回答
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您可以尝试使用参数方程式来表示任意角度旋转的椭圆：
x = h + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi) [1]
y = k + b*sin(t)*cos(phi) + a*cos(t)*sin(phi) [2]
...其中椭圆的中心为(h,k)，半长轴为a，半短轴为b，并绕角度phi旋转。
然后可以求导并解出梯度=0：
0 = dx/dt = -a*sin(t)*cos(phi) - b*cos(t)*sin(phi)
tan(t) = -b*tan(phi)/a [3]
找到t的多个解（其中两个是你感兴趣的），将其代入[1]中得到最大值和最小值x。
对于[2]重复以上步骤：
0 = dy/dt = b*cos(t)*cos(phi) - a*sin(t)*sin(phi)
tan(t) = b*cot(phi)/a [4]
让我们举一个例子：
考虑一个在 (0,0) 处、长轴为 2，短轴为 1，以 PI/4 旋转的椭圆：
[1] =>
x = 2*cos(t)*cos(PI/4) - sin(t)*sin(PI/4)
tan(t) = -tan(PI/4)/2 = -1/2
t = -0.4636 + n*PI
我们对 t = -0.4636 和 t = -3.6052 感兴趣。
因此，我们得到：
x = 2*cos(-0.4636)*cos(PI/4) - sin(-0.4636)*sin(PI/4) = 1.5811
x = 2*cos(-3.6052)*cos(PI/4) - sin(-3.6052)*sin(PI/4) = -1.5811
- fd
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我在http://www.iquilezles.org/www/articles/ellipses/ellipses.htm上找到了一个简单的公式（忽略了z轴）。
我大致实现了这个公式：
num ux = ellipse.r1 * cos(ellipse.phi);
num uy = ellipse.r1 * sin(ellipse.phi);
num vx = ellipse.r2 * cos(ellipse.phi+PI/2);
num vy = ellipse.r2 * sin(ellipse.phi+PI/2);
num bbox_halfwidth = sqrt(ux*ux + vx*vx);
num bbox_halfheight = sqrt(uy*uy + vy*vy);
Point bbox_ul_corner = new Point(ellipse.center.x - bbox_halfwidth,
ellipse.center.y - bbox_halfheight);
Point bbox_br_corner = new Point(ellipse.center.x + bbox_halfwidth,
ellipse.center.y + bbox_halfheight);
- user1789690
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JavaScript 实现 https://gist.github.com/kolosovsky/b56d90ad3a507876ae2da96e5bb8ff71 - Eduard Kolosovskyi
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这很简单，但有点难以解释，因为您没有告诉我们如何表示您的椭圆。 有很多方法可以做到这一点.. 无论如何，总的原则是：您无法直接计算轴对齐边界框。 但是，您可以将椭圆在x和y中的极值作为2D空间中的点来计算。 对此，只需使用方程x（t）= ellipse_equation（t）和y（t）= ellipse_equation（t）。 获取它的一阶导数并将其解决为其根。 由于我们处理的是基于三角函数的椭圆，因此这是直截了当的。 您应该得到一个方程，可以通过atan，acos或asin获得根。
提示：要检查您的代码，请尝试使用未旋转的椭圆：您应该在0，Pi / 2，Pi和3 * Pi / 2处获得根。
对于每个轴（x和y），都要这样做。 您最多会得到四个根（如果您的椭圆退化，例如一个半径为零，则会更少）。 在根位置评估位置，即可获得椭圆的所有极值点。
现在你已经接近成功了。 获取椭圆的边界框就像扫描这四个点以获取xmin，xmax，ymin和ymax一样简单。
顺便说一句-如果您在查找椭圆的方程式方面有问题：请尝试将其缩小为具有中心，两个半径和绕中心旋转角度的轴对齐椭圆的情况。
如果您这样做，则方程变为：
// the ellipse unrotated:
temp_x(t) = radius.x * cos(t);
temp_y(t) = radius.y * sin(t);
// the ellipse with rotation applied:
x(t) = temp_x(t) * cos(angle) - temp_y(t) * sin(angle) + center.x;
y(t) = temp_x(t) * sin(angle) + temp_y(t) * cos(angle) + center.y;
- Nils
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1你的代码第三行有一个错别字。第二个“=”应该是“*”。我认为这对每个人来说都很明显。我无法编辑它，因为编辑必须至少有6个字符，而这只有一个字符需要编辑。 - miile7
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Brilian Johan Nilsson。 我已经将您的代码转换为C# - 椭圆角度现在以度为单位：
private static RectangleF EllipseBoundingBox(int ellipseCenterX, int ellipseCenterY, int ellipseRadiusX, int ellipseRadiusY, double ellipseAngle)
{
double angle = ellipseAngle * Math.PI / 180;
double a = ellipseRadiusX * Math.Cos(angle);
double b = ellipseRadiusY * Math.Sin(angle);
double c = ellipseRadiusX * Math.Sin(angle);
double d = ellipseRadiusY * Math.Cos(angle);
double width = Math.Sqrt(Math.Pow(a, 2) + Math.Pow(b, 2)) * 2;
double height = Math.Sqrt(Math.Pow(c, 2) + Math.Pow(d, 2)) * 2;
var x= ellipseCenterX - width * 0.5;
var y= ellipseCenterY + height * 0.5;
return new Rectangle((int)x, (int)y, (int)width, (int)height);
}
- Kenneth Bo Christensen
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我相信应该是
ellipseCenterY - height * 0.5（减号，而不是加号）。否则完美无缺。 - JeremyDouglass2
我认为最有用的公式是这个。从原点旋转角度phi的省略号具有以下方程式：
(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1
其中(h，k)是中心，a和b是长轴和短轴的大小，t的变化范围为-pi到pi。
通过这个公式，你应该能够推导出dx/dt或dy/dt何时为0。
(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1
其中(h，k)是中心，a和b是长轴和短轴的大小，t的变化范围为-pi到pi。
通过这个公式，你应该能够推导出dx/dt或dy/dt何时为0。
- PierreBdR
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我现在感觉很慢，花了很长时间才写完我的答案 T.T - Mike Tunnicliffe
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如果您使用OpenCV/C++并使用
cv::fitEllipse(..)函数，则可能需要椭圆的边界矩形。这里我使用Mike的答案提供了一个解决方案：// tau = 2 * pi, see tau manifest
const double TAU = 2 * std::acos(-1);
cv::Rect calcEllipseBoundingBox(const cv::RotatedRect &anEllipse)
{
if (std::fmod(std::abs(anEllipse.angle), 90.0) <= 0.01) {
return anEllipse.boundingRect();
}
double phi = anEllipse.angle * TAU / 360;
double major = anEllipse.size.width / 2.0;
double minor = anEllipse.size.height / 2.0;
if (minor > major) {
std::swap(minor, major);
phi += TAU / 4;
}
double cosPhi = std::cos(phi), sinPhi = std::sin(phi);
double tanPhi = sinPhi / cosPhi;
double tx = std::atan(-minor * tanPhi / major);
cv::Vec2d eqx{ major * cosPhi, - minor * sinPhi };
double x1 = eqx.dot({ std::cos(tx), std::sin(tx) });
double x2 = eqx.dot({ std::cos(tx + TAU / 2), std::sin(tx + TAU / 2) });
double ty = std::atan(minor / (major * tanPhi));
cv::Vec2d eqy{ major * sinPhi, minor * cosPhi };
double y1 = eqy.dot({ std::cos(ty), std::sin(ty) });
double y2 = eqy.dot({ std::cos(ty + TAU / 2), std::sin(ty + TAU / 2) });
cv::Rect_<float> bb{
cv::Point2f(std::min(x1, x2), std::min(y1, y2)),
cv::Point2f(std::max(x1, x2), std::max(y1, y2))
};
return bb + anEllipse.center;
}
- Maksym Ganenko
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这是一个基于上面答案的TypeScript函数。
export function getRotatedEllipseBounds(
x: number,
y: number,
rx: number,
ry: number,
rotation: number
) {
const c = Math.cos(rotation)
const s = Math.sin(rotation)
const w = Math.hypot(rx * c, ry * s)
const h = Math.hypot(rx * s, ry * c)
return {
minX: x + rx - w,
minY: y + ry - h,
maxX: x + rx + w,
maxY: y + ry + h,
width: w * 2,
height: h * 2,
}
}
- Stephen Ruiz
1
以下是椭圆的公式，如果通过其焦点和离心率给出（如果通过轴长度、中心和角度给出，请参见用户1789690的答案）。
即，如果焦点为（x0，y0）和（x1，y1），离心率为e，则
我从用户1789690和Johan Nilsson的答案中推导出了这些公式。
即，如果焦点为（x0，y0）和（x1，y1），离心率为e，则
bbox_halfwidth = sqrt(k2*dx2 + (k2-1)*dy2)/2
bbox_halfheight = sqrt((k2-1)*dx2 + k2*dy2)/2
where
dx = x1-x0
dy = y1-y0
dx2 = dx*dx
dy2 = dy*dy
k2 = 1.0/(e*e)
我从用户1789690和Johan Nilsson的答案中推导出了这些公式。
- Jaan
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这是我用于找到任意方向椭圆的紧密拟合矩形的函数。
我使用OpenCV中的矩形和点进行实现：
cg - 椭圆的中心
size - 椭圆的长轴和短轴
angle - 椭圆的方向
我使用OpenCV中的矩形和点进行实现：
cg - 椭圆的中心
size - 椭圆的长轴和短轴
angle - 椭圆的方向
cv::Rect ellipse_bounding_box(const cv::Point2f &cg, const cv::Size2f &size, const float angle) {
float a = size.width / 2;
float b = size.height / 2;
cv::Point pts[4];
float phi = angle * (CV_PI / 180);
float tan_angle = tan(phi);
float t = atan((-b*tan_angle) / a);
float x = cg.x + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi);
float y = cg.y + b*sin(t)*cos(phi) + a*cos(t)*sin(phi);
pts[0] = cv::Point(cvRound(x), cvRound(y));
t = atan((b*(1 / tan(phi))) / a);
x = cg.x + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi);
y = cg.y + b*sin(t)*cos(phi) + a*cos(t)*sin(phi);
pts[1] = cv::Point(cvRound(x), cvRound(y));
phi += CV_PI;
tan_angle = tan(phi);
t = atan((-b*tan_angle) / a);
x = cg.x + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi);
y = cg.y + b*sin(t)*cos(phi) + a*cos(t)*sin(phi);
pts[2] = cv::Point(cvRound(x), cvRound(y));
t = atan((b*(1 / tan(phi))) / a);
x = cg.x + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi);
y = cg.y + b*sin(t)*cos(phi) + a*cos(t)*sin(phi);
pts[3] = cv::Point(cvRound(x), cvRound(y));
long left = 0xfffffff, top = 0xfffffff, right = 0, bottom = 0;
for (int i = 0; i < 4; i++) {
left = left < pts[i].x ? left : pts[i].x;
top = top < pts[i].y ? top : pts[i].y;
right = right > pts[i].x ? right : pts[i].x;
bottom = bottom > pts[i].y ? bottom : pts[i].y;
}
cv::Rect fit_rect(left, top, (right - left) + 1, (bottom - top) + 1);
return fit_rect;
}
- Pranay Soni
0
这是Pranay Soni代码的另一个版本，使用js实现 codepen 我希望有人会发现它有用
/**
* @param {Number} rotation
* @param {Number} majorAxis
* @param {Nmber} minorAxis
* @pivot {Point} pivot {x: number, y: number}
* @returns {Object}
*/
export function getElipseBoundingLines(ratation, majorAxis, minorAxis, pivot) {
const {cos, sin, tan, atan, round, min, max, PI} = Math;
let phi = rotation / 180 * PI;
if(phi === 0) phi = 0.00001;
// major axis
let a = majorAxis;
//minor axis
let b = minorAxis;
const getX = (pivot, phi, t) => {
return round(pivot.x + a * cos(t) * cos(phi) - b * sin(t) * sin(phi))
}
const getY = (pivot, phi, t) => {
return round(pivot.y + b * sin(t) * cos(phi) + a * cos(t) * sin(phi))
}
const X = [], Y = [];
let t = atan(-b * tan(phi) / a);
X.push(getX(pivot, phi, t));
Y.push(getY(pivot, phi, t));
t = atan(b * (1 / tan(phi) / a));
X.push(getX(pivot, phi, t));
Y.push(getY(pivot, phi, t));
phi += PI;
t = atan(-b * tan(phi) / a);
X.push(getX(pivot, phi, t));
Y.push(getY(pivot, phi, t));
t = atan(b * (1 / tan(phi)) / a);
X.push(getX(pivot, phi, t));
Y.push(getY(pivot, phi, t));
const left = min(...X);
const right = max(...X);
const top = min(...Y);
const bottom = max(...Y);
return {left, top, right, bottom};
}
- serg Ks
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原文链接
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t值，我们确保从将这些值插入方程式中得到两个唯一的答案。您可以尝试其他t值来确认这一点。 - Mike Tunnicliffe