二进制补码是一种聪明的整数存储方法，使得常见的数学问题非常容易实现。
要理解这个概念，你必须把数字想象成二进制。
它基本上是这样说的：
- 对于零，使用所有的0。
- 对于正整数，从0开始计数，最大值为2(位数-1)-1。
- 对于负整数，做完全相同的事情，但是将0和1的作用互换并向下计数（因此，不是以0000开始，而是以1111开始 - 这就是"补码"的部分）。
让我们用四位的迷你字节（我们称之为半字节- 1/2个字节）来尝试一下。
0000- 零0001- 一0010- 二0011- 三0100到0111- 四到七
这就是我们在正数方面所能达到的极限了。23-1 = 7。
对于负数：
1111- 负一1110- 负二1101- 负三1100到1000- 负四到负八
请注意，负数比正数多一个值（1000 = -8），因为0000用于表示零。这可以被视为计算机的Number Line。
区分正负数
为了区分非负和负的十进制值，第一位扮演"符号"位的角色。如果最高位是1，则可以说该二进制数是负数，而如果最高位（最左边）是0，则可以说该十进制值是非负数。
"Sign-magnitude"负数只需将其正数相对应的符号位取反，但这种方法必须处理将1000（一个1后跟所有0）解释为“负零”的情况，这很令人困惑。
"Ones' complement" 负数只是其正数对应位的补码，这也导致了一个令人困惑的“负零”，即 1111（全为1）。
除非您非常接近硬件工作，否则您很可能不需要处理 Ones' Complement 或 Sign-Magnitude 整数表示法。
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我想知道这个问题是否可以比维基百科文章更好地解释。
用二进制补码表示法解决的基本问题是如何存储负整数。
首先，考虑一个用4位存储的无符号整数，你可以有以下内容：
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
...
1111 = 15
这些是无符号的，因为它们没有指示它们是正数还是负数。
补码和移码符号
为了存储负数，你可以尝试多种方式。首先，可以使用补码符号，将第一位作为符号位分配给表示+/-，其余位表示幅度。所以再次使用4位，假设1表示-，0表示+，那么你就有：
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
...
1000 = -0
1001 = -1
1111 = -7
所以，你看到问题了吗？我们有正零和负零。更大的问题是使用二进制数进行加减运算。使用符号位表示法进行加减的电路将非常复杂。
什么是
0010
1001 +
----
另一个系统是过量符号表示法。你可以存储负数，摆脱两个零的问题，但加法和减法仍然很困难。
于是出现了二进制补码。现在你可以存储正数和负数，并且可以相对容易地执行算术运算。有许多方法将一个数字转换为二进制补码。这里是其中一种方法。
将十进制转换为二进制补码
将数字转换为二进制（暂时忽略符号） 例如，5是0101，-5是0101。
如果这个数字是一个正数，那么你就完成了。 例如，5在二进制中使用二进制补码表示为0101。
如果这个数字是负数，则
3.1 找到补码（反转0和1） 例如，-5是0101，因此找到补码为1010
3.2 将补码加1 1010 + 1 = 1011。 因此，-5的二进制补码为1011。
那么，如果你想在二进制中做2 +（-3）怎么办？ 2 +（-3）等于-1。 如果使用符号大小来添加这些数字，你需要做什么？ 0010 + 1101 =？
使用二进制补码考虑一下会有多容易。
2 = 0010
-3 = 1101 +
-------------
-1 = 1111
将二进制补码转换为十进制
将1111转换为十进制：
该数字以1开头，因此是负数，所以我们找到1111的补码，即0000。
将0000加1，得到0001。
将0001转换为十进制，得到1。
应用符号 = -1。
Tada!
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就像我看到的大多数解释一样，上面的解释明确介绍了如何使用二进制补码操作，但并没有真正解释它们在数学上是什么。至少对于整数，我将尝试解释一下，并首先介绍一些可能熟悉的背景知识。
回忆一下十进制如何运作：
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是一种写法，
2 × 103 + 3 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100.
同样地，二进制是一种只使用0和1来表示数字的方式，遵循相同的基本思想，但用2替换上述的10。然后在二进制中，
1111
是一种写法，
1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20
如果你计算出来，结果是15（十进制）。这是因为它是
8+4+2+1 = 15。
对于正数来说，这都很好。如果你愿意，在负数上也可以这样做，就像人们在十进制数字中一样在前面加一个减号。这甚至可以在计算机中做到，但自从1970年代初就没有看到这样的计算机了。我将把原因留给另一个讨论。
对于计算机而言，使用补码来表示负数更有效率。但是有些事情经常被忽略，补码符号涉及到数字的位数颠倒，甚至包括正数前面的隐含零位。这很麻烦，因为问题出现了：所有的数字都要颠倒吗？那可能就是一个无穷大的数字。
幸运的是，计算机并不表示无穷大的数字。数字受到特定长度（或宽度，如果您喜欢）的限制。所以让我们回到正的二进制数字，但是规定一定的位数。这里我会用8位（"bits"）作为例子。因此，我们的二进制数字实际上应该是
00001111
或者
0 × 27 + 0 × 26 + 0 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20
为了形成2的补码负数，我们首先要将所有（二进制）数字补码为
11110000
然后加1变为
11110001
但是这又该如何理解为-15呢？
- 1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 + 1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20。
注意那个表达式前面的 "-"？它表示符号位承载的权重为-27，即-128（十进制）。所有其他位置保留了它们在无符号二进制数中的权重。
计算出我们的-15，得到：
-128 + 64 + 32 + 16 + 1
在计算器上试试，结果是-15。
在我看到过的三种表示负数的主要方式中，二进制补码在一般使用中最为方便。但它有一个奇点。因为它是二进制的，所以可能的比特组合必须是偶数个。每个正数都可以与其负数配对，但只有一个零。否定零会得到零。因此还有一种组合，符号位为 1 ，其他所有位置上都是 0 。 相应的正数不适合使用正在使用的比特数。
这个数字更奇怪的地方在于，如果你尝试通过取反加一来形成它的正数，你会得到同样的负数。虽然零似乎也会有这种行为，但这是出乎意料的，而且与我们通常认为的不同，因为除了计算机之外，我们通常认为数字具有无限长度，而不是固定长度的算术。
这就像奇异性的冰山一角。在表面下还有更多等待我们去发现，但对于本次讨论，以上内容已经足够了。如果您想了解更多信息，可以搜索“固定点算术溢出(overflow)”。如果您真的想深入了解，您还可以研究“模运算(modular arithmetic)”。
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2的补码对于查找二进制值非常有用，但我想到了一种更简洁的解决方法（从未见过其他人发表）：
以二进制为例，例如：1101，它等于-3（假设空格“1”是符号）。
使用2的补码，我们会这样做...翻转1101，得到0010...加上0001 + 0010 ===> 得出0011。正二进制中的0011 = 3。因此，1101 = -3！
我意识到的:
不必进行翻转和相加，只需按照求解正二进制的基本方法（比如0101）进行即可，即 (23 * 0) + (22 * 1) + (21 * 0) + (20 * 1) = 5。
使用同样的概念来处理负数！（稍作变化）
以1101为例：
对于第一个数字，不要使用 23 * 1 = 8，而是使用 -(23 * 1) = -8。
然后像往常一样继续计算，即 -8 + (22 * 1) + (21 * 0) + (20 * 1) = -3
3
假设你有一定数量的比特位/三进制位/数字等。你将所有数字都定义为0，并按自然数顺序逐个递增：
00
01
02
..
终究你会溢出。
98
99
00
实际上我们拥有的是一个循环结构。2之前的数字是1，1之前的数字是0，0之前的数字是......99。
因此，为了简单起见，我们可以说超过50的任何数字都是负数。 "0"到"49"表示0到49。"99"是-1，"98"是-2，..."50"是-50。
这种表示法是“十进制补码”。计算机通常使用“二进制补码”，它与十进制补码相同，只是使用位而不是数字。
十进制补码的好处在于加法“只是有效的”。您不需要对正数和负数进行特殊处理！
我在Reddit上读到了jng的一个精彩解释（链接），他使用里程表作为类比。
这是一个有用的约定。如果使用此约定，相同的电路和逻辑操作仍然适用于二进制中正数的加法/减法，并且也可用于正数和负数，这就是它如此有用和无处不在的原因。
想象一下汽车的里程表，它在（假设）99999上滚动。如果你增加00000，你会得到00001。如果你减少00000，你会得到99999（由于回绕）。如果你再加上一个1，它就会回到00000。所以决定99999表示-1非常有用。同样地，决定99998表示-2也非常有用，等等。你必须停止某个地方，而且按照惯例，数字的上半部分被认为是负数（50000-99999），而下半部分则仅代表它们自己（00000-49999）。因此，最高位为5-9意味着所代表的数字为负数，而为0-4则意味着所代表的数字为正数 - 这与二进制补码中的符号位完全相同。
我也很难理解这个。一旦我理解了它并重新阅读了书籍、文章和解释（那时还没有互联网），结果发现很多描述它的人并不真正理解它。之后我写了一本教汇编语言的书（在接下来的10年里相当畅销）。
3
补码是通过对给定数字的1'st补码加1来找到的。
假设我们需要找到10101的补码，然后找到它的1'st补码，也就是01010，将这个结果加上1，即01010+1=01011，这就是最终答案。
我们需要获取12的补数以将其从10中减去。 12的二进制为00001100。 10的二进制为00001010。
要获取12的补数，我们只需反转所有位，然后加1。 12的二进制反转为11110011。这也是反码（一的补码）。 现在我们需要加1，即11110100。
因此，11110100是12的补数！当您以这种方式考虑时，很容易理解。
现在您可以解决上述问题10-12的二进制形式。
00001010
11110100
-----------------
11111110
“补码”一词来源于“完整性”。在十进制中，数字0到9提供了一组补码（完整集）用于表示所有的十进制数。在二进制中，数字0和1提供了一组补码用于表示所有二进制数。实际上，符号0和1必须用来表示所有东西（文本、图像等），以及正数（0）和负数（1）。
在我们的世界中，数字左侧的空格被视为零：
35=035=000000035.
在计算机存储位置中，不存在空白空间。所有位（二进制数字）必须是0或1。为了高效使用内存，数字可以表示为8位、16位、32位、64位、128位。将存储为8位数字的数字转移到16位位置时，其符号和幅值（绝对值）必须保持不变。两种补码表示都可以实现这一点。
作为名词： 1的补码和2的补码都是有符号数量的二进制表示法，其中最高位（左侧的位）是符号位。0代表正数，1代表负数。 2的补码并不意味着负数，它表示一个带符号的量。就像十进制中一样，大小表示为正数量。该结构使用符号扩展来在提升到具有更多位的寄存器[]时保留数量：
[0101]=[00101]=[00000000000101]=5 (base 10)
[1011]=[11011]=[11111111111011]=-5(base 10)
作为一个动词： 2的补码意味着 取反。它不意味着变成负数。 它的意思是如果是负数则变成正数; 如果是正数则变成负数。大小是绝对值：
if a >= 0 then |a| = a
if a < 0 then |a| = -a = 2scomplement of a
这种能力允许使用否定然后加法进行高效的二进制减法运算。 a - b = a + (-b)
取1的补码的官方方法是对于每个数字将其从1中减去。
1'scomp(0101) = 1010.
这与翻转或反转每个位是相同的。这导致了一个不被喜欢的负零，因此将1的补码加1可以解决该问题。要取反或获取2的补码，首先取1的补码，然后加上1。
Example 1 Example 2
0101 --original number 1101
1's comp 1010 0010
add 1 0001 0001
2's comp 1011 --negated number 0011
在这些示例中，否定符号扩展数字也同样起作用。
加法： 1110 进位 111110 进位 0110 相当于 000110 1111 111111 总和 0101 总和 000101
减法：
1110 Carry 00000 Carry
0110 is the same as 00110
-0111 +11001
---------- ----------
sum 0101 sum 11111
请注意，使用二进制补码时，数字左侧的空格用于填充正数的零，但用于填充负数的是一。进位始终被加上，必须为1或0。
祝好！
例如：63 - 24 = x
我们加上24的补码，实际上就是(100-24)。所以，我们只是在等式两边都加上了100。
现在的等式是：100 + 63 - 24 = x + 100，这就是为什么我们要去掉100（或10或1000或其他）。
由于需要从一长串零中减去一个数字，这种情况非常不方便，因此我们使用了“减位基补码”系统，在十进制系统中是九的补码。
当我们被给出一个从许多9中减去的数字时，我们只需要反转这些数字。
例如：99999 - 03275 = 96724
这就是为什么在九的补码之后，我们要加1的原因。你可能从小学数学中知道，通过“偷取”1，9变成了10。因此，基本上就是十的补码从差异中减去1。
在二进制中，二的补码相当于十的补码，而一的补码相当于九的补码。主要区别在于，我们试图用2的幂来隔离差异，而不是使用10的幂（将10、100等加入等式）。
正是因为这个原因，我们倒置了比特。就像在十进制中我们的被减数是一串9一样，在二进制中，我们的被减数是一串1。
例如：111111 - 101001 = 010110
因为一串1比2的幂小1，所以它们从差异中“偷取”1，就像十进制中的九一样。
当我们使用负二进制数时，我们实际上是在说：
0000 - 0101 = x
1111 - 0101 = 1010
1111 + 0000 - 0101 = x + 1111
为了“隔离”x，我们需要加1，因为1111距离10000只有1，我们去掉前导的1，因为我们刚刚把它加到了原始差异中。
1111 + 1 + 0000 - 0101 = x + 1111 + 1
10000 + 0000 - 0101 = x + 10000
只需从两边都去掉10000即可得到x，这是基本代数。
原文链接
0而是给出2^N（根据定义），例如对于数字A的 3 位，我们想要A+~A=2^N所以010 + 110 = 1000 = 8，这是2^3。至少这解释了在这里“补码”一词的含义，它不仅仅是将0和1的含义取反。MIT 有用的视频：https://www.youtube.com/watch?v=RbJV-g9Lob8 - Charlie Parker