一致的术语：建模，DAE，ODE

Question

我对“物理系统建模”这个主题还很陌生。我读了一些基础文献，做了一些Modelica和Simulink/Simscape的教程。我想问你，我是否正确地理解了以下内容：

• 符号处理是将微分代数方程组（物理模型：DAE）转换为可以由标准求解器（Runge、Kutta、BDF等）求解的微分方程组（ODE）的过程。
• 也有一些求解器可以直接求解DAE。但Modelica（openModelica、Dymola）和Simscape将系统转化为ODE（为什么与直接使用DAE求解器相比，这些方法更好呢？）
• “平面化的Modelica代码”就是转换的结果（= ODE）。

非常感谢您的答案。

- AssMero

Answer 1

Modelica中的符号处理包括：

• 去除面向对象结构并获得混合DAE（扁平化的Modelica）
• 进行匹配、指标降低和因果化以获得ODE
• 执行优化（切割、公共子表达式消除等）
• 为特定求解器生成代码

OpenModelica还可以在DAE模式下解决系统而不将其转换为ODE，我想其他Modelica工具也可以这样做。

"扁平化的Modelica代码"是指已移除面向对象结构、连接方程已展开为常规方程的Modelica代码。结果是一个混合DAE。

有关所有这些内容的更多信息，请参见Modelica Spec 3.3（例如附录C）： https://modelica.org/documents/ModelicaSpec33Revision1.pdf

- Adrian Pop

Answer 2

因为 Modelica 的编程方式是声明式的（相对于命令式的），因此我们立即得到了大量代数方程式。通过（部分）符号求解，有以下重要优势：

• 速度。如果不消除代数环路，Modelica 将无法实际使用于任何现实世界问题中，即使在简单情况下也会剩余一些代数方程。这将会导致过慢，并强制你手动在Modelica中进行转换（就像在命令式语言中例如C / C ++或Simulink中）。即使今天，Modelica 应用程序仍然可能比手动转换和优化的解决方案慢。 此外，Modelica 应用程序通常需要实时模拟。

• 正确性。符号转换基于证明，而 Modelica 应用程序通常处于安全关键或物理系统的领域。

- goofy

Answer 3

一个额外的考虑因素是，有不同形式的DAEs，建模往往会导致数值求解复杂的高指数DAEs（*）。 （注意，“高”表示指数大于1，通常为2-但有时甚至更高。）

符号变换可以将高指数DAEs降为半显式指数1 DAEs，然后通过（数值上）解方程组将它们转化为ODEs。

因此，即使工具直接求解DAEs，通常也是解决半显式指数1 DAEs，而不是原始的高指数DAE。

（我知道这个答案晚了。用于符号变换的混合部分更加复杂，仍在研究中。）

有关更多信息，请参见https://en.wikipedia.org/wiki/Differential-algebraic_system_of_equations （*）：有一些求解高指数DAEs（特别是指数2）的求解器，但通常它们依赖于模型的特定结构，而找到该结构需要类似于将指数降为1的技术。

- Hans Olsson