如何从空间中的一组点中找到最接近/最近平面的最佳算法/论文？

Question

针对点云，如何找到最接近的平面，既要精确又要快速？

我搜索了最近的平面，但没有找到相关信息。

我想用这个方法将它们捕捉到该平面上。

- Joan Venge

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你可以从构建一个类似于这里的线开始：http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_regression，它是你目标的二维对应物。 - BlackBear

你是指“主要”平面之一（XY、XZ、YZ，分别带有一些Z、Y或X偏移量），还是确定由点集最接近描述的平面？ - user1207456

@DavidEllis：后者。 - Joan Venge

Answer 1

最小二乘回归可能是我猜测的。它将为您提供系数，以使平面在所有点上最小化均方误差。

你不是第一个： 3D 最小二乘平面

- duffymo

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你知道针对这个问题的任何具体示例或我可以修改并使用的示例吗？我听说过最小二乘法，但以前从未使用过。 - Joan Venge

Answer 2

我认为你也可以使用主成分分析来完成这个任务：

计算你的点的平均值：

C = (0,0,0);
for each point Ri in your dataset,
  { C += Ri; }
C = C * 1.0 / npoints;

计算您的数据点的协方差矩阵：

A = zeros(3,3);
for each point Ri in your dataset,
  {
  D = Ri - C;
  A += D*D';  // outer product
  }

计算A的逆矩阵，A_inv：

  A_inv = inv(A)

通过反复应用A_inv到一个随机初始向量来执行幂迭代：

  N = random vector.
  for i=1:20 (or so)
    {
    N = A_inv*N;
    N = normalize(N);
    }

从原点到你的平面的偏移量为k = dot(N,C)。描述你的平面的方程是所有满足k = dot(N,R)的点R。

- rchilton

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谢谢，我不确定如何计算这两个主向量。你有任何例子吗？ - Joan Venge

根据duffymo链接的另一个帖子中的答案，通过反向迭代直接找到N比计算P1、P2再寻求其正交补更有意义。我认为只要您有三个非共线点，A就保证是对称正定的（因此可逆）。 - rchilton

是的，这样更有意义。我很难看出这个解决方案为什么更好。计算完整的逆矩阵似乎不是一个好主意 - 很可能会被舍入误差淹没。 - duffymo

只有一个评论，你真正想要找到/测量的是A的奇异性。如果A是奇异的，则其零空间是所寻平面的法向量；如果它接近奇异，则其最小主特征值/奇异向量是所寻平面的法向量。PCA/SVD明确分离/正交化这些空间的事实是（在我看来）一件好事。 - rchilton

A确实是3x3的。有4个未知数，但我们只使用PCA计算正常的（x，y，z）。第四个未知数（与原点的偏移量）是后处理的。另外，太晚编辑了 - 那个“A可逆当且仅当它是由3个非共线点构建而成”的评论应该改为“4个非共面点”。 - rchilton