如何在更新操作比简单的加法或乘法更为复杂时，应用惰性更新方法来更新线段树？

Question

考虑此问题。在这个段树解决方案中，我们正在更新给定范围内树的所有节点。是否可以将延迟传播应用于此问题？

编辑：请注意，在每次更新操作中arr[i]=(1-(1-arr[i])*a)，其中L<=i<=R且a是一个常数。

- yobro97

Answer 1

我会假设你的查询操作是在范围[L, R]中找到总和。

你肯定希望以高效的方式完成此操作，可能每个操作都是O(log n)。

你需要一种方法来存储数据在lazy字段中，以便在遍历树进行查询时计算更新。

让我们看看能否以更好的方式编写更新：

v = 1 - (1 - v) * a
  = 1 - (a - av)
  = 1 - a + av

如果我们这样做两次：

1 - a + av = 1 - (1 - [1 - a + av]) * a
           =  1 - (a - a + a**2 - a**2 v)
           = 1 - a + a - a**2 + a**2 v
           = 1 - a**2 + a**2 v

相当于（应用于整个范围）：

1. 乘以 a
2. 减去 a
3. 加上 1

更新懒惰字段时，明显只需增加 a 的指数。

您可以像链接的懒惰传播文章中描述的那样懒惰地执行这 3 个操作。

因此，您的更新操作可以分为 3 个懒惰更新，在 O(log n) 时间内完成，总时间为 O(log n)。

- IVlad

Answer 2

是的，至少在某些情况下是可能的。

基本上，您需要一种有效地存储惰性操作的方法，以及一种将两个存储的惰性操作有效地组合成一个的方法。

例如，假设更新操作是段赋值，即a[l] = x，a[l+1] = x，...，a[r-1] = x，a[r] = x。可以将整个子树的此操作仅存储为值x，这意味着该操作是将x分配给此子树的每个顶点。对于顶点v中的惰性传播，我们只需将其应用于顶点v的直接子代，并在那里存储相同的惰性操作x。请注意，子代中的任何旧惰性操作都会被分配擦除。这就是分配的性质。

至于您添加的示例，操作arr[i] = (1 - (1 - arr[i]) * a)，让我们看看在常数a和b下进行两次此类操作后值如何更改。

操作之前，让值为v。

第一个操作后，它变为w = 1 - (1 - v) * a，即a*v + (1-a)*1。

第二个操作后，该值变为1 - (1 - w) * b，即b*w + (1-b)*1，这又是b*a*v + b*(1-a)*1 + (1-b)*1，最终变成(b*a)*v + (1-b*a)*1。（我可能混淆了加号和减号，但这不会改变整个图像。）

现在我们可以看到该值是原始值的线性函数，因此我们可以存储线性项和常数项的系数b*a和1-b*a。

问题在于系数可能增长得太快，很快就会超出存储类型（int、double或其他）的容量。如果该问题涉及模某个整数的整数余数而不仅仅是整数或实数，则这不是问题；否则，存储系数很快就会成为问题。

- Gassa