矩阵乘法

Question

这两段伪代码有何不同之处？

// Multiplying a matrix by the difference between each frame
float difference = current - previous; // Time since previous frame
float angle = difference / 500;
matrix rotation;
rotation.RotateX(angle);
rotation.RotateY(angle);
worldMatrix *= rotation; // Note multiply

// Multiplying a matrix by the difference between current and start
float difference = current - start; // Time since first frame
float angle = difference / 500;
matrix rotation;
rotation.RotateX(angle);
rotation.RotateY(angle);
worldMatrix = rotation; // Note assignment

每段代码之间只有非常微小的差异，但会导致视觉上的巨大差异。输入看起来像这样：

帧1：旋转= 1弧度
worldMatrix *= rotation;
帧2：旋转= 1弧度
worldMatrix *= rotation;
等等...

帧1：旋转= 1弧度
worldMatrix = rotation;
帧2：旋转= 2弧度
worldMatrix = rotation;
等等...

- Mark Ingram

Answer 1

实际上，结果应该是不同的（即使您没有考虑上述的累积误差）。原因是旋转顺序很重要：先绕X轴旋转，再绕Y轴旋转，与先绕Y轴旋转，再绕X轴旋转是不同的。

按照矩阵符号（就我理解您的设置而言），您有以下理想行为：

let angle = (end - start)/500
  Rx = rotate.RotateX(angle)
  Ry = rotate.RotateY(angle)

then, foreach frame in (0..500):
cumulative: Rc = Rx * Ry * Rx * Ry * ... * Rx * Ry
               = (Rx * Ry)^frame
assignment: Ra = Rx * Rx * ... * Ry * Ry * ....
               = (Rx)^frame * (Ry)^frame

关于伪代码的一些说明：这里的约定是从左到右乘矩阵（这意味着点是行向量）。此外，如果不清楚的话，“(matrix)^N”是矩阵乘方：按顺序连续乘“N”个“(matrix)”。

对于累积情况，您的OQ从单位矩阵开始，依次将其乘以旋转角度小的“Rx”和“Ry”；您的“rotation”等同于我的“(Rx*Ry)”。“worldMatrix”然后多次乘以该矩阵；这意味着对于任何给定帧，“worldMatrix”=“initial_worldMatrix * (Rx*Ry)^frame”。

对于赋值情况，您要计算的角度为“frame * total_angle/total_frames”。这相当于依次旋转“total_angle/total_frames”“frame”次，这很重要，因为这些小旋转恰好与累积情况中使用的小旋转相同。因此，在赋值情况下，您的代码正在计算“(Rx)^frame * (Ry)^frame”，并每次将“worldMatrix”重置为该值。

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问题在于这些是不同的矩阵；即使进行完美的数学推导，它们应该看起来也会有所不同。

选择哪个取决于您想要的行为。累积版本将紧密地近似于围绕X轴和Y轴之间的对角线进行旋转；赋值版本则像旋转万向节一样。

如果您确实想要累积行为，则有更好的方法，而不是将多达500个矩阵相乘在一起（如上所述，由于浮点误差，您的矩阵会漂移）。具体来说，您可以围绕Z轴旋转45度，然后围绕X轴旋转frame/500度，然后再围绕Z轴旋转-45度，以获得类似的效果。

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进一步解释两种情况之间的区别：

在累积情况下，您正在围绕X轴旋转一点，然后围绕Y轴旋转一点，重复多次。如果旋转很小，则组合这两个小旋转的结果将是围绕某个轴的小旋转（如果它们不是很小，则轴可能不完全在两者之间，但仍将是特定旋转）。重要的是，如果重复执行该旋转对，则其结果将越来越多地绕该轴旋转，无论该轴是什么。

在赋值情况下，您正在围绕X轴进行所有旋转，然后围绕Y轴进行所有旋转。这使得旋转变大，这就有所不同。一种可视化差异的方法是想象一组坐标轴：大的X旋转将把原始Y轴旋转出线，以便Y旋转会以不同的方式应用。

在数学术语中，造成如此大的差异的原因是一般情况下旋转不是可交换的：也就是说，顺序很重要。请注意，小的旋转近似是可交换的（当旋转角度趋近于零时，Rx * Ry和Ry * Rx之间的差异呈二次方逼近 -- 旋转角度减半会将差异减小四倍），但当您将所有小旋转组合成两个大旋转时，您要做很多重新排序才能使它们产生巨大的差异。即使每个单独的交换（Rx * Ry -> Ry * Rx）只有很小的影响，将N个Rx迁移到一侧实际上是一个冒泡排序：您需要O(N^2)个交换才能完成它....

- comingstorm

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累积=轴旋转&赋值=旋转万向节正是我所看到的，感谢您在原始问题中完全理解我所尝试询问的内容。您能否再详细解释一下累积/赋值伪代码？我正在尝试理解为什么数学计算如此不同。谢谢！ - Mark Ingram

Answer 2

似乎两者的区别在于第一个示例会通过旋转矩阵改变当前世界矩阵。而第二个示例则用旋转矩阵来替换世界矩阵。如果在此之前未对世界矩阵进行任何操作，则可能看不到任何区别。但如果在此之前应用了任何操作，则第二个代码示例将舍弃那些操作。

问题是，您是否希望对世界矩阵进行的更改是累积的还是非累积的？第一个代码示例将给您一个累积效果，而第二个则不会。

- FrustratedWithFormsDesigner

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通常情况下，赋值版本比累积版本更可取。如果您将500个旋转矩阵相乘，由于浮点问题，结果往往会漂移 - 结果可能看起来越来越不像旋转矩阵... - comingstorm

第一个示例旨在展示累积效应 - 但实际上它并不起作用。我得到的旋转完全不同于第二个示例。 - Mark Ingram