Java BigDecimal - 需要解释

Question

我曾经使用BigDecimal，但是对于两个不同的（在数学上相同的）表达式，我仍然得到了不同的结果：

第一个表达式：PI - (10^(-14)/PI)

第二个表达式：(PI^2 - 10^(-14))/PI

更简单地说，这就是方程式：

package set1;

import java.math.BigDecimal;
import java.math.RoundingMode;

public class FloatingLaws {
    final static BigDecimal PI = BigDecimal.valueOf(Math.PI);
    public static void main(String[] args) {        
        System.out.println(firstExpression());
        System.out.println(secondExpression());

    }

    private static BigDecimal secondExpression() {
        return PI.subtract((BigDecimal.valueOf(Math.pow(10, -14)).divide(PI,50,RoundingMode.CEILING)));

    }

    private static BigDecimal firstExpression() {
        return (PI.multiply(PI).subtract(BigDecimal.valueOf(Math.pow(10, -14)))).divide(PI, 50,RoundingMode.CEILING);
    }

}

执行此代码后，无论舍入的大小如何，最后一位数字始终不同。在我的情况下，我得到以下两个结果：

3.14159265358978981690113816209304300915191180404867
3.14159265358978981690113816209304300915191180404866

我的问题是为什么会发生这种情况，以及是否可以解决？

- mrGreenBrown

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这真的让你很关心吗？ - Idos

是的，它确实可以 :) - mrGreenBrown

我从未使用过 BigDecimal，但是我在你的代码中看到了很多“舍入模式”。在实际数学中（精度不受内存限制），在计算过程中进行四舍五入永远不是一个好主意，因为你得不到一个精确的答案。 - Arc676

正如@Arc676所提到的，试着在最后进行四舍五入！ - Sercan Ozdemir

Answer 1

这是因为您正在执行以下操作：

pi - ((10^-4)/pi)<- 仅对括号中的部分进行上舍入，

这与

((pi^2-10^-14)/pi)<- 整个表达式都被上舍入。

您使用BigDecimal和精度为50的CEILING舍入模式。在您的两个表达式中，当您除以PI数字时会应用上舍入。因此，如果您像第一个表达式中一样贪婪地除以PI，则可能会得到不太准确的结果-因为在您的公式完全执行之前，您就要CEIL中间值，所以您失去了由除以PI运算产生的上舍入部分，这在进一步计算中创建“错误”效果。 当您最后除以PI时，就像第二个表达式中一样，您使用更准确的公式，它只对结果进行上舍入，而不是像第一个表达式中那样中间值进行上舍入，因此计算更加精确，只对结果进行舍入，而不是中间值。

- Krzysztof Cichocki

Answer 2

BigDecimal.subtract方法总是在不进行四舍五入的情况下产生两个BigDecimal数字之间的精确差值。另一方面，BigDecimal.divide通常会对结果进行四舍五入。在您的情况下，您使用的是CEILING舍入模式，它向上舍入（朝+无穷大方向）。当您计算 a-ceil(b/a)时，您实际上将整个结果向下舍入（假设已经舍入了a），而计算 ceil((a*a-b)/a) 时，您正在向上舍入。这就是为什么firstExpression()较大的原因。如果您使用HALF_EVEN舍入，则结果将相同。如果您使用FLOOR模式，则结果将相反。

此外，请查看BigDecimal.valueOf(Math.PI);：

System.out.println(BigDecimal.valueOf(Math.PI));
> 3.141592653589793

实际的圆周率与所需的50位小数差距巨大。您应该明确地定义圆周率，如下所示：

final static BigDecimal PI = new BigDecimal("3.14159265358979323846264338327950288419716939937510");

现在的结果如下:

3.14159265358979005536378154537278750652190194908786
3.14159265358979005536378154537278750652190194908785

这与你的不同。

- Tagir Valeev

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实际上，为了获得更好的结果，通常有意义使用比所需精度略高的精度，例如 desiredPrecision + 5，并且仅在最后一步进行四舍五入（最好使用 HALF_UP）。这样，您甚至可以计算出所需精度的余弦值（使用具有大量加法和除法的泰勒级数）。 - Rudy Velthuis

Answer 3

我修改了你的程序，尝试了Java所知道的所有舍入模式。 在Oracle JDK 8.72下运行，我发现在舍入模式HALF_UP、HALF_DOWN和HALF_EVEN下得到了相同的结果。但是Krzysztof是正确的，因为你没有在相同的位置进行舍入，错误注定会出现。

public class FloatingLaws {
    final static BigDecimal PI = BigDecimal.valueOf(Math.PI);

    public static void main(String[] args) {
        for (RoundingMode roundingMode : RoundingMode.values()) {
            System.out.println(roundingMode);
            System.out.println("Equal? "+firstExpression(roundingMode).equals(secondExpression(roundingMode)));
            System.out.println(firstExpression(roundingMode));
            System.out.println(secondExpression(roundingMode));
        }

    }

    private static BigDecimal secondExpression(RoundingMode roundingMode) {
    return PI.subtract((BigDecimal.valueOf(Math.pow(10, -14)).divide(PI, 50, roundingMode)));

    }

    private static BigDecimal firstExpression(RoundingMode roundingMode) {
    return (PI.multiply(PI).subtract(BigDecimal.valueOf(Math.pow(10, -14)))).divide(PI, 50, roundingMode);
    }

}

- Eashi

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UP、DOWN、CEILING 和 FLOOR 常常存在较差的舍入误差，因为它们可以在最后一个保留数字上造成接近 1 的差异。HALF_UP、HALF_DOWN 和 HALF_EVEN 模式在最后一个保留数字上最多只会产生一半的差异，因此它们应该能够获得更好的结果。 - Patricia Shanahan