将随机数生成器偏向某个整数n，偏差为b。

Question

给定一个整数范围R = [a, b]（其中a >= 0且b <= 100），该范围内存在一个偏差整数n以及一些偏移量b，我可以使用什么公式来使随机数生成器朝向n的方向倾斜呢？

例如，如果我有1到10的数字并且没有指定偏差数字，那么理论上我应该有等概率地随机选择其中一个。

但是如果我指定一个特定的偏差数字（比如说3），那么随机数生成器应该会比其他数字更频繁地选择3。

如果我除了指定偏差数字之外还指定了一个偏移量2，那么随机数生成器应该更频繁地从1到5中选择数字，而不是6到10中选择数字。

我应该使用哪个算法来实现这个功能呢？

如果需要，我正在使用Ruby。

- MxLDevs

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抱歉回答错误，我错过了它是整数的事实。您只是想要一些“任意”的转换，还是它必须具有明确定义的属性（例如均值和标准差等于给定的足够大的样本）？ - andrew cooke

如果没有偏差，您可以使用均匀分布，如果有偏差，则可以使用正态分布吗？ - zimdanen

@andrewcooke 任意的转换都可以。我只是希望数字生成器更频繁地选择某些值。只要在我的例子中我得到更多的3，那就很好了。或者，通过偏差，更多的1到5。如果在这种情况下3仍然是更高的，那就太好了。 - MxLDevs

为什么正态分布太偏斜？这完全取决于您选择的标准差 - 您可以随意选择。 - andrew cooke

你提供的解决方案存在问题，andrew cooke。Keikoku建议他/她正在寻找可能是多模态偏差的解决方案。 - Jérémie

Answer 1

我认为最简单的方法是从具有所需属性的正态（又名高斯）分布中进行采样，然后转换结果：

• 生成给定均值和标准差的正态值
• 四舍五入到最近的整数
• 如果在给定范围之外（正态可以产生整个范围从负无穷大到正无穷大的值），则丢弃并重复

如果您需要从均匀分布生成正态分布，则最简单的变换是 "box-muller"。

您可能需要担心一些细节。特别是，Box-Muller 在范围上受限制（它永远不会生成极不可能的值）。因此，如果您给出非常狭窄的范围，那么您将永远无法获得完整的值范围。其他变换没有那么受限制——我建议使用 Ruby 提供的任何内容（查找“normal”或“gaussian”）。

此外，请注意对值进行四舍五入。例如，2.6 到 3.4 应全部变为 3。如果您仅丢弃小数点（因此，3.0 到 3.999 变为 3），则会存在偏差。

如果你真的关心效率，并且不想丢弃值，你可以简单地发明一些东西。其中一种欺骗的方法是将均匀变量与偏差值混合（例如，9/10的时间生成均匀分布的值，1/10的时间返回3）。在某些情况下，如果你只关心样本的平均值，这可能已经足够了。

- andrew cooke

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对于第一种方法，这意味着如果我给出mean=2和sd=3，那么这有效地排除了像8这样的数字被选择，对吧？也许我可以生成另一个随机数来选择是否丢弃？ - MxLDevs

不，你会得到8。那是离均值2个标准差之外的位置（（8-2）/3=2），所以没有问题；它只是不太常见。理论上，正态分布可以无限延伸（实际上Box-Muller方法并不完全符合这一点，但Ruby可能有一个更好的正态/高斯随机数生成器）。请参见编辑。 - andrew cooke

我使用 rnd = [1,1,1,2].sample 来获得 1/4 的概率得到 2。 - Kris

Answer 2

对于第一部分"But if I do give a specific bias number (say, 3), then the number generator should be drawing 3 a more frequently than the other numbers."，有一个非常简单的解决方案：

def randBias(a,b,biasedNum=None, bias=0):
   x = random.randint(a, b+bias)
   if x<= b:
       return x
   else:
       return biasedNum

对于第二部分，我会说这取决于任务。如果你需要从相同的分布中生成十亿个随机数，我会明确计算数字的概率并使用加权随机数生成器（参见Random weighted choice）。

- ElKamina

Answer 3

如果您想要一个单峰分布（其中偏差只集中在数字范围的一个特定值上，例如您所述的3），那么andrew cooke提供的答案很好——主要是因为它允许您非常精确地微调偏差。

然而，如果您希望进行多个偏差——例如，您希望有一个三峰分布，其中数字a、（a+b）/2和b比其他数字更频繁出现，那么最好实现加权随机选择。

这方面的一个简单算法在StackOverflow上的一个最近的问题中给出；它的复杂度是线性的。使用这样的算法，您只需维护一个列表，最初包含{a，a+1，a+2，...，b-1，b}（大小为b-a+1），当您想要向X添加偏差时，您会将X的几个副本添加到列表中——取决于您想要偏差多少。然后从列表中随机选择一个项目。

如果你想要更高效的方法，最有效的方法被称为“别名方法”，由Denis Bzowy在Python中实现得非常清晰；一旦你的数组被预处理，它就可以在恒定的时间内运行（但这意味着一旦完成预处理，你就不能再更新偏差了——或者你需要重新处理表格）。

这两种技术的缺点是，与高斯分布不同，偏向X并不会对X-1和X+1产生影响。为了模拟这种效果，你需要做一些如下的事情

def addBias(x, L):
   L = concatList(L, [x, x, x, x, x])
   L = concatList(L, [x+2])
   L = concatList(L, [x+1, x+1]) 
   L = concatList(L, [x-1,x-1,x-1])
   L = concatList(L, [x-2])

- Jérémie