如何进行射线平面相交？

Question

如何计算射线和平面之间的交点？

代码

这会产生错误的结果。

float denom = normal.dot(ray.direction);

if (denom > 0)
{
    float t = -((center - ray.origin).dot(normal)) / denom;

    if (t >= 0)
    {
        rec.tHit = t;
        rec.anyHit = true;
        computeSurfaceHitFields(ray, rec);
        return true;
    }
}

参数

ray 表示光线对象。
ray.direction 是方向向量。
ray.origin 是起始点向量。
rec 表示结果对象。
rec.tHit 是碰撞位置的数值。
rec.anyHit 是一个布尔值。

我的函数可以访问平面：
center 和 normal 定义了该平面。

- Pontus Magnusson

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当你说这个不起作用时，具体是什么没有起作用？它崩溃了吗？结果错误吗？编译失败了吗？ - Matt Coubrough

你的法向量是否保证指向远离射线起点？否则，denom < 0 很可能仍会产生一个交点。 - wonce

Answer 1

有评论指出，你也希望允许分母为负数，否则您将错过与平面前面的交点。但是，您仍然希望进行测试以避免零除法，这表明光线与平面平行。在计算 t 时还存在一个多余的否定。总的来说，应该看起来像这样:

float denom = normal.dot(ray.direction);
if (abs(denom) > 0.0001f) // your favorite epsilon
{
    float t = (center - ray.origin).dot(normal) / denom;
    if (t >= 0) return true; // you might want to allow an epsilon here too
}
return false;

- Trillian

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什么是中心和什么是光线起点？ - Lily

这里的 center 是平面上已知的一个点。这使用了平面的“点-法向量”描述方式。 - Joan Charmant

我显然在谈论C ++，因为问题标记为C ++。我假设你正在谈论std :: abs()（它具有不同的重载），而不是abs()（只处理整数）。由于答案中包含abs()而不是std :: abs()，并且也没有使用using指令，所以我认为这是一个错误。有关更多信息，请参见此处：https://dev59.com/K2Ei5IYBdhLWcg3wUa86 - Tara

@Duckdoom5，我希望你能删除那条评论。它是错误的，会给新手带来错误的信息。 - Glenn Maynard

@GlennMaynard 您是正确的，我假设这里使用了 std::abs()，所以我会删除该注释。 - Duckdoom5

Answer 2

首先考虑射线和平面相交的数学问题：

一般来说，我们会用射线的参数方程与几何图形的隐式方程相交。

假设有一个射线方程 x = a * t + a0, y = b * t + b0, z = c * t + c0；

还有一个平面方程：A x * B y * C z + D = 0；

将 x、y 和 z 的射线方程代入平面方程中，你会得到一个关于 t 的多项式。接着，你需要解出这个多项式的实数值 t。利用这些 t 值，你便可回代入射线方程以得出真正的 x、y 和 z 值。以下为 Maxima 中的示例：

请注意，答案看起来像是两个点积的商！平面的法向量是平面方程的前三个系数 A、B 和 C。你仍需要 D 来确定该平面的唯一性。然后，你可以使用你选择的编程语言编写代码，如下所示：

Point3D intersectRayPlane(Ray ray, Plane plane)
{
    Point3D point3D;

    //  Do the dot products and find t > epsilon that provides intersection.


    return (point3D);
}

- vwvan

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我似乎找不到有关射线隐式公式的更多信息。在x(t)中，a、t和a0代表什么？谢谢！ - brain56

光线以参数形式表示，而平面以隐式形式表示。 请参阅http://www.cs.umd.edu/~djacobs/CMSC427/RayTracing.pdf - vwvan

那个紧挨着 t = 的 - 符号几乎看不见。 - Mateen Ulhaq

Answer 3

数学

定义：

• 令射线通过参数方程表示为 q = p + t*v，其中p为起点，v为方向向量，对于 t >= 0 成立。

• 令平面是满足方程式 dot(n, r) + d = 0 的点的集合，其中n = (a, b, c) 是法向量，d 是常数。完整地展开，平面方程也可以写成熟悉的形式 ax + by + cz + d = 0。

当 q 满足平面方程时，射线与平面相交。代入式子，我们有：

d = -dot(n, q)
  = -dot(n, p + t * v)
  = -dot(n, p) + t * dot(n, v)

重新排列：

t = -(dot(n, p) + d) / dot(n, v)

这个t的值可以通过将其插回到p + t*v中来确定交点。

示例实现

std::optional<vec3> intersectRayWithPlane(
    vec3 p, vec3 v,  // ray
    vec3 n, float d  // plane
) {
    float denom = dot(n, v);

    // Prevent divide by zero:
    if (abs(denom) <= 1e-4f)
        return std::nullopt;

    // If you want to ensure the ray reflects off only
    // the "top" half of the plane, use this instead:
    //
    // if (-denom <= 1e-4f)
    //     return std::nullopt;

    float t = -(dot(n, p) + d) / dot(n, v);

    // Use pointy end of the ray.
    // It is technically correct to compare t < 0,
    // but that may be undesirable in a raytracer.
    if (t <= 1e-4)
        return std::nullopt;

    return p + t * v;
}

- Mateen Ulhaq

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我写了这个答案，为ax + by + cz + d = 0形式提供一个完整的工作示例。此外还讨论了如果我们只想反射光线到一个正常定向的平面上（即平面的前面而不是后面）应该怎么做。 - Mateen Ulhaq

此外，查看此答案，获取 Snell 法向量形式的推导和参数 t 的解决方案。 - Mateen Ulhaq

t = - (点积(n, p0) + d) / 点积(n, v) - KeithB

Answer 4

实现vwvan的回答

Vector3 Intersect(Vector3 planeP, Vector3 planeN, Vector3 rayP, Vector3 rayD)
{
    var d = Vector3.Dot(planeP, -planeN);
    var t = -(d + Vector3.Dot(rayP, planeN)) / Vector3.Dot(rayD, planeN);
    return rayP + t * rayD;
}

- Bas Smit

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你为什么在$t$的计算中写出了两个点积，而不是调用$Vector3.Dot(rayP, planeN)$？ - The Coding Wombat

@TheCodingWombat 我过去四年很忙:D - Bas Smit