NumPy中加权协方差矩阵

Question

我希望计算具有权重的p个量的n次测量的协方差C，其中每个单独的量测量都有自己的权重。也就是说，我的权重数组W与我的数量数组Q（n乘以p）具有相同的形状。原生的np.cov()函数仅支持针对单个测量给出权重（即长度为n的向量）。

我可以初始化一个p乘以p的矩阵并进行迭代，但如果p很大，则这是一个非常缓慢的过程。

由于已知每个量（Q的列）的平均值为零，因此C的每个元素的显式公式为：

C[i,j] = np.sum(
    Q[:, i] * Q[:, j] * W[:, i] * W[:, j]) / np.sum(W[:, i] * W[:, j])

如果我将分子重新排列为Q [:，i] * W [:，i] * Q [:，j] * W [:，j]，似乎我应该能够对Q * W的列进行乘法和求和，然后以类似的方式处理分母（除了使用W * W ）。

有没有一种使用np.einsum()实现这个功能的方法？

为测试，让我们定义以下内容：

C = array([[ 1.  ,  0.1 ,  0.2 ], # set this beforehand, to test whether 
           [ 0.1 ,  0.5 ,  0.15], # we get the correct result
           [ 0.2 ,  0.15,  0.75]])

Q = array([[-0.6084634 ,  0.16656143, -1.04490324],
           [-1.51164337, -0.96403094, -2.37051952],
           [-0.32781346, -0.19616374, -1.32591578],
           [-0.88371729,  0.20877833, -0.52074272],
           [-0.67987913, -0.84458226,  0.02897935],
           [-2.01924756, -0.51877396, -0.68483981],
           [ 1.64600477,  0.67620595,  1.24559591],
           [ 0.82554885,  0.14884613, -0.15211434],
           [-0.88119527,  0.11663335, -0.31522598],
           [-0.14830668,  1.26906561, -0.49686309]])

W = array([[ 1.01133857,  0.91962164,  1.01897898],
           [ 1.09467975,  0.91191381,  0.90150961],
           [ 0.96334661,  1.00759046,  1.01638749],
           [ 1.04827001,  0.95861001,  1.01248969],
           [ 0.91572506,  1.09388218,  1.03616461],
           [ 0.9418178 ,  1.07210878,  0.90431879],
           [ 1.0093642 ,  1.00408472,  1.07570172],
           [ 0.92203074,  1.00022631,  1.09705542],
           [ 0.99775598,  0.01000000,  0.94996408],
           [ 1.02996389,  1.01224303,  1.00331465]])

- DathosPachy

Answer 1

您可以使用非常高效的矩阵乘法来运用np.dot函数 -

QW = Q*W
C = QW.T.dot(QW)/W.T.dot(W)

- Divakar

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你说得对，对于100x10的数组，这个方法比我的方法快了约3倍，而且这个因素会随着Q和W的大小而增加。 - DathosPachy

Answer 2

经过更多的实验，我发现以下方法有效：

A = np.einsum('ki,kj->ij', Q*W, Q*W)
B = np.einsum('ki,kj->ij', W, W)
C = A/B

- DathosPachy