为什么产品被称为最小项而和式被称为最大项？

Question

他们这样做有理由吗？我的意思是，在最小项和中，您寻找输出为1的项; 我不明白为什么他们称其为“最小项”。为什么不是“最大项”，因为1要比0大得多呢？

我不知道背后是否有原因？还是应该在没有询问原因的情况下接受它？

- jantristanmilan

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我发现这个问题是因为我有一个类似的疑问。我想知道maxterm的实际应用是什么。@Rubenelius提供的链接非常好地解释了minterm的应用。然而，考虑到如果有2或3个可能的maxterms...如果其中一个评估为true，则其他maxterms肯定会评估为0，我无法想象maxterm如何评估为true或1。 - Sharpfawkes

Answer 1

这些术语被称为“最小项”和“最大项”的约定并不意味着1比0大。我认为最好的解释方式是通过一个例子：

假设您有一个电路，它由 X̄YZ̄ + XȲZ 描述。

“这个表达式由两组三个组成。每组三个都是‘最小项’。‘最小项’的含义是，表达式中的每个三元组仅在X、Y和Z及其反转的八种可能组合之一中取值为1。”引用自：http://www.facstaff.bucknell.edu/mastascu/elessonshtml/Logic/Logic2.html 因此，“min”指的是这些术语是建立特定函数所需的“最小”术语。如果您需要更多信息，请参考上面提供的链接以获得更多上下文解释。

编辑：使用“最小项”表示AND运算，“最大项”表示OR运算的原因如下：

在“积和式”（您称之为AND）中，只有其中一个“最小项”为真时，表达式才为真。 在“和积式”（您称之为OR）中，所有“最大项”都必须为真才能使表达式为真。

- Rubenulis

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哦，因为每个“项”只有一种可能的组合是真实的...与X+Y+Z最大项相反。我明白了。还是我误解了它？ - jantristanmilan

没错。编辑已经做出来了以反映这一点。希望这有所帮助。 - Rubenulis

链接已损坏，能否请您修复一下？ - Soham

Answer 2

min(0,0) = 0
min(0,1) = 0
min(1,0) = 0
min(1,1) = 1

所以，minimum基本上就像逻辑AND。

max(0,0) = 0
max(0,1) = 1
max(1,0) = 1
max(1,1) = 1

因此，最大值基本上就像逻辑 OR。

- Omri Barel

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是的，但我在问是否有使用MIN作为AND/乘积的原因，以及使用MAX作为OR/求和的原因。以防万一有人问起。 - jantristanmilan

Answer 3

在“积和式”（SOP）中，SOP表达式的每个项称为“最小项”，因为对于一个SOP表达式：

F(X,Y,Z) = X'.Y'.Z + X.Y'.Z' + X.Y'.Z + X.Y.Z

要使这个SOP表达式为1或true（正逻辑），表达式的任何一个项都应该为1。因此有了“最小项”这个词。

也就是说，这个表达式的任何一个项（X'Y'Z）、（XY'Z'）、（XY'Z）或（XYZ）中的任何一个是1，都会导致F（X，Y，Z）为1！因此它们被称为“最小项”。

另一方面，在“积之和”（POS）中，POS表达式的每个项称为“最大项”，因为对于一个POS表达式：

F(X,Y,Z) = (X+Y+Z).(X+Y'+Z).(X+Y'+Z').(X'+Y'+Z)

要使这个POS表达式为0（因为POS被认为是负逻辑，并且我们认为0项），表达式的所有项都应该为0。因此有了“最大项”这个词！

也就是说，对于F（X，Y，Z）为0，

表达式的每个项（X+Y+Z）、（X+Y'+Z）、（X+Y'+Z'）和（X'+Y'+Z）都应该等于“0”，否则F就不为零！

因此，POS表达式中的每个项都称为“最大项（最大化所有项！）”，因为所有项都应该为0才能使F为0，而POS中的任何一个项为1都会导致F为1。因此它被称为“最小项（至少有一项！）”。

- Atanu Sarkar

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若要使积为0，所有Maxterm的项都应该为0。因为任何一个包含在积中的项如果不为0，就会让整个积变成0...是这样吗？ - Soham

Answer 4

我相信AB被称为最小项是因为它在Venn图中占据最小的区域；而A+B被称为最大项，因为它在Venn图中占据最大的区域。绘制这两个图表，含义将变得显而易见。 Ed Brumgnach

- Ed Brumgnach

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为什么是负1呢？我认为我的答案是唯一一个解释为什么AND被称为"MINTER"，而OR被称为"MAXTERM"的。其他所有答案都只是解释"MINTER"和"MAXTERM"的含义。由变量组成的等于1或0的组合与最大值和最小值无关。 - Ed Brumgnach

Answer 5

这里有另一种思考方式。

一个产品被称为 最小项，因为它具有 最小可满足性，而一个和式被称为 最大项，因为它在所有实际感兴趣的布尔函数中具有 最大可满足性。

它们被称为 项，因为它们被用作任意布尔函数的各种规范表示的构建块。

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细节：

请注意，'0'和'1'是微不足道的布尔函数。 假设一组布尔变量x1，x2，...，xk和一个非微不足道的布尔函数f（x1，x2，...，xk）。

通常，当f对于该输入保持值为1时，输入被称为满足布尔函数f。

请注意，可能有恰好2^k个输入，并且任何非微不足道的布尔函数都可以满足最少1个输入，最多2^k-1个输入。

现在考虑两个感兴趣的简单布尔函数：所有变量的和S和所有变量的积P（变量可能出现/不出现为补数）。 S是具有最大可满足性的布尔函数，因此称为maxterm，而P是具有最小可满足性的布尔函数，因此称为minterm。

- Loves Probability