在编程中实现数学方程式遇到问题

Question

我正在为学校实现一个算法，但在理解如何在编程中表示定积分方面遇到了问题。例如，我知道求和公式可以实现为以下示例：

假设y=f(x)

if(x==0){
    y=x+1;
}else{
    for(int i = 0; i < n; i++){
        y = y + (x - 1);
    }
}

我应该如何表示一个数值积分，例如：

这里提供的方程可能没有数学意义，但我的目标是在C#中实现类似的方程，以用于我必须实现包含积分的算法的学校编程项目。我一直在阅读有关使用数值方法（例如辛普森规则）来解决定积分的文章；我是否需要使用这些方法来实现方程，或者可以使用类似循环等的编程方式来表示积分呢？

- user1327159

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所以，你想要一个公式解析器吗？还是你想学习如何将数学公式转换为代码？ - SQLMason

我真的无法相信这个问题得到了+7的评分。作为一名工程师，我曾经经常做这种自动化工程流程的事情。我不明白这有什么大不了的。这里没有什么魔法。 - SQLMason

@DanAndrews 读一下加一到底意味着什么。表现出努力了吗？我会这么说，对于一个初学者来说这是一个很好的问题！有用吗？你自己都这么说了，你经常需要使用它，所以应该是一个有用的领域。清晰易懂吗？是的。那为什么不用 +1 呢？ - weston

@weston 我不想就这个问题进行辩论。看看这个问题的答案。很明显，这个问题不够清晰或具体，无法回答。+1是因为OP使用了漂亮的格式吗？真的吗？这是第一个不是问题的问题。 - SQLMason

@DanAndrews +1 因为我也很想知道答案。 - Pacane

Answer 1

数值积分的主题很广，可以变得非常复杂，因此我不会在这个答案中涵盖所有内容。

Simpson's规则是一种用于数值积分的方法，朝着简单和近似的方向（而不是复杂、准确或两者兼备的方向）。对于您开始研究该主题来说，这并不是一个坏选择，因为它非常容易理解和编程。我毫不怀疑，您可以直接在您喜欢的编程语言中实现维基百科上提供的公式。

现在，将循环和Simpson's规则结合起来：Simpson's规则对积分真实值的近似精度随着积分限制（例如您的示例中的3和20）越来越接近而得到改善。因此，您可以采取的一种方法是编写一个循环，计算从3到4，从4到5等的积分，并在最后将它们全部加起来。积分产生区域，将区域相加产生（通常是）另一个更大的区域。

对于所有数值积分方面的专家，我知道还有其他方法，并且其中许多方法在许多不同意义上都更好，我也知道辛普森规则会在某些（很多）函数上遇到麻烦，但这并不是一个坏的起点。

- High Performance Mark

Answer 2

也许我没理解清楚，您是想知道如何进行数值积分吗？

如果是这样，有很多方法。简单介绍请参考：http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_integration 从您的示例中，您可以简单地执行以下操作：

int f(int x) {
    if(x == 0) {
       y = x + 1;
    }else{ 
      y = computeIntegral()
    }
    return y
}

这里，computeIntegral() 是一个你必须编写以计算积分的函数。

但我认为你的函数 f(x) 存在问题，因为如果 x 不为零，则 f(x) 只有一个值。也许积分边界应该取决于 x？

最后一条评论。如果 x 是浮点数，则不建议使用 x == 0，因为由于舍入截断，浮点数没有唯一的二进制表示。

- Ger

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我知道这个方程没有意义，它们只是我在Word中制作的两个图像，以便大致了解我想要做什么，但我的目标是找出如何表示一个积分，而不一定是那个积分的代码。从我的理解来看，我需要使用数值方法计算积分，如果我没有误解你的话。 - user1327159

IEEE f-p标准要求+0和-0相等，因此它们具有不同的表示并不意味着x==0.0是无效（或麻烦）的操作。这与“舍入截断”无关。 - High Performance Mark

@HighPerformanceMark 对于 x == 0 是可以的，但通常来说使用 == 来比较两个浮点数是否相等是有意义的吗？ - Ger

如果您想通过程序计算积分，则必须使用数值方法或者像Bob Vale刚才所说的那样，如果您知道原函数的值，则计算它的值。 - Ger

Answer 3

这取决于你想要做什么。如果这是一个具体的实现，你可以简单地集成公式x-1变成(x^2)/2 - x，然后返回最大值减去最小值。

或者，它可以作为一个估计来实现，选择适当的dx步长。

decimal dx=0.1;

if(x==0){  
    y=x+1;  // could just return y=1
}else{  
    decimal tempY=0;
    for(decimal i = 3; i <= 20; i+=dx){  
        tempY += (i - 1);  
    }  
    // Either return tempY as decimal or
    y= Convert.ToInt32(tempY);
}  

- Bob Vale

Answer 4

你不能仅通过循环来表示一个积分，因为积分是无限和。你必须使用近似方法或修改方程式以消除积分符号。你第二个方程中的积分应该很容易消除。

- Thom Smith