C++ 数值截断误差

Question

抱歉，如果问题比较简单，我找不到答案。

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
double a(0);
double b(0.001);
cout << a - 0.0 << endl;
for (;a<1.0;a+=b);
cout << a - 1.0 << endl;
for (;a<10.0;a+=b);
cout << a - 10.0 << endl;
cout << a - 10.0-b << endl;
return 0;
}

输出结果：
0
6.66134e-16
0.001
-1.03583e-13

尝试使用MSVC9、MSVC10、Borland C++ 2010编译，最终都会出现约为1e-13的错误。在只有1000或10000个增量的情况下，出现如此显著的误差积累是否正常？

- Andrew

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http://docs.sun.com/source/806-3568/ncg_goldberg.html - Anycorn

http://home.comcast.net/~tom_forsyth/blog.wiki.html#[[A%20matter%20of%20precision]]的翻译如下：（不是我，嘿） - dash-tom-bang

Answer 1

是的，这是正常的浮点数表示误差。这是因为硬件必须近似大多数浮点数，而不是精确存储它们。因此，您使用的编译器不应该有影响。

计算机科学家应该了解的浮点算术知识

- WhirlWind

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谢谢，我确实理解截断误差和其他一切烦人的东西。我在数值方法方面做了很多理论工作，但我从未自己检查过，发现它有多大，感到非常惊讶... - Andrew

一个double类型大约可以提供16位小数的精度，这是正确的。当你循环1000次时，你只剩下13位左右的精度。 - WhirlWind

请注意，仅针对无理（在二进制中）数字会特别痛苦。如果您使用2的幂，那么一切都会很好。例如，如果您的加法器是0.5、0.25、0.125、0.0625等，它们最终将完全相加为1.0，因为这些值在二进制中分别为0.1、0.01、0.001和0.0001。 - dash-tom-bang

@dash-tom-bang 不错的观点，不过我认为如果你在做那种事情，最好还是适应整数算术。 - WhirlWind

@ WhirlWind：在我内心深处，我曾经期望它由于误差性质的随机性而缓慢积累，但现在我意识到这只是一种幻想 :) - Andrew

如果你有一个固定数量的小数位，整数总是更好的选择。例如，不要用浮点数计算美元，而是用表示为整数，其中1代表一分钱或者几分钱。 - dash-tom-bang

Answer 2

这就是为什么在使用浮点数时，你永远不应该这样做：

if( foo == 0.0 ){
    //code here
}

而不是这样做

bool checkFloat(float _input, float _compare, float _epsilon){
    return ( _input + _epsilon > _compare ) && ( _input - _epsilon < _compare );
}

- wheaties

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在许多情况下，检查是否为零是可以的，因为它可以在硬件中精确表示，但当然这取决于您对其进行的操作... 从1开始并减去0.1十次将不会导致0，当然。 - dash-tom-bang

这非常正确，但在大多数情况下，这并不是一个好的做法。我更喜欢谨慎行事。 - wheaties

在谨慎的一面犯错...有点有趣 ;) 或者说是在 epsilon 的范围内犯错。 - WhirlWind

Answer 3

想象一下，每次操作都会引入轻微的误差，但是下一次操作使用了略有缺陷的结果。经过足够多的迭代，你会偏离真实结果。如果你愿意，可以按照如下形式编写表达式并找出具有 epsilon 的术语。根据这些术语，您可以估计近似误差。

还有第二个误差来源：在某些时候，您将组合相对较小和相对较大的数字，接近最后阶段。如果您回忆一下机器精度的定义，1 + e = 1，那么在某些时候，操作将丢失重要位数。

希望这能以通俗易懂的方式阐明问题。

- Anycorn

Answer 4

这是浮点数的问题——它们是近似值，并且在零点发生奇怪的情况（也就是，会出现奇怪的表示形式）。因此，你对数字进行的一些操作必须更加谨慎地处理。

当比较两个数字时，你不能简单地说 a == b，因为其中一个可能是 0，而另一个由于在得到 a 和 b 时施加了浮点运算而变成 -1.03583e-13。你必须选择一个任意的容差，像这样：fabs(a,b) < 1e-8。

当打印一个数字时，通常需要限制打印的位数。如果你使用 printf，可以使用 printf("%g\n", a);，它不会打印像 -1.03583e-13 这样的东西。我不知道是否有一个 iostream 的类似于 %g 的函数？有吗？

- Joey Adams