JavaScript:使用递归检查数字是否为质数

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我有些困惑如何解决这个问题。我需要返回所有质数为true。如果不是,则返回false--我注意到我的逻辑包括2,而它返回了0,所以它自动返回false,因为2的余数为0。

  

  function isPrime(num, div = 2) {
      // BASE CASE: 
     
      if(num <= div ) return false; // IF num less than OR equal to  2 RETURN false 
      
      // IF num MOD has a remainder of zero   
         
      if(num % 2 === 0) return false  // RETURN false 
      
      return true; // RETURN true
     
      // RECURSIVE CALL:

      return isPrime(num)
    }

    console.log(isPrime(1)); //-> false
    console.log(isPrime(2)); //-> true
    console.log(isPrime(3)); //-> true
    console.log(isPrime(4)); //-> false


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使您的代码正确的最小更改:https://pastebin.com/1P46Hzaj - Will Ness
3个回答

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不需要使用递归,只需测试从3到该数平方根的所有奇数整数作为可能的因子,以获得最佳性能。

function isPrime(num){
      if(num === 2) return true;
      if(num < 2 || num % 2 === 0) return false;
      for(let i = 3; i * i <= num; i += 2)
          if(num % i === 0) return false;
      return true;
}

如果你真的需要使用递归,可以通过接受一个因子作为第二个参数并在递归时将其增加2来实现上述想法。
function isPrime(num, div = 3){
      if(num === 2) return true;
      if(num < 2 || num % 2 === 0)  return false;
      if(div * div > num) return true;
      if(num % div === 0) return false;
      return isPrime(num, div + 2);
}

我必须以递归的方式回答它。 - Woody P Lucas
我对这行代码非常困惑:如果(div * div > num) return true。 - Woody P Lucas
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如果当前的除数大于该数字的平方根,则我们已经测试了所有可能的因子。 - Unmitigated

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我来为您翻译文本:

我来这里是想看递归的,但是Thankyou已经提供了一个使用一些有用的抽象方法进行递归处理的优秀答案。

那个答案使用了 埃拉托斯特尼筛法的一个版本。我想指出另一个版本的筛法,它不太优雅,但我认为性能要更好一些。

基本实现是这个生成器函数:

const sieve = function * () {
    const C = {} // known composite numbers
    let q = 2
    while (q < Infinity) {
        if (C [q]) {
            C [q] .forEach (n => C [n + q] = [... (C [n + q] || []), n]  )
            delete C [q]
        } else {
            C [2 * q] = [q]
            yield q
        }
        q += 1
    }
}

筛法要求我们划去给定质数的所有倍数。如果我们从一个固定的数字列表开始,这是可以的,但在这里我们想处理流式值,没有固定的上限。相反,在任何质数的倍数处,我们只划掉我们将要撞到的下一个倍数。我们用局部变量C来跟踪这一点,它保存有关质数倍数的一些信息。
假设我们已经达到了测试值11。那么我们已经看到了2357的质数。2的下一个倍数是12;3的下一个倍数也是12;5的下一个倍数是15;7的下一个倍数是14。此时C将如下所示:
{
  12: [3, 2],
  14: [7],
  15: [5]
}

因为列表中没有11,所以我们将2*11加入C中,并将其作为下一个质数返回。因此,当我们检查12时,C将如下所示:
{
  12: [3, 2],
  14: [7],
  15: [5],
  22: [11]
}

但是现在这个对象上有数字12,所以12不是质数。我们需要进行一些调整。我们将从列表中删除12,但是我们必须把我们的23值放在它们的下一个倍数上。在12之后的下一个2的倍数是14,因此我们将更新14处的值以包括2。在12之后的下一个3的倍数是15,因此我们将更新15处的值以包括3

现在,当我们到达13时,C保存的是:

{
  14: [7, 2],
  15: [5, 3],
  22: [11]
}

因为数字 13 不在集合 C 中,所以我们知道它是质数。我们将 yield 它,并将 C 中的值加上 26(即 2 * 13),并赋予其值 13。这将带领我们获得更多的质数。我们需要维护的状态就是迄今为止找到的每个质数的下一个倍数的集合。
一个敏锐的眼睛可能已经注意到了这里有一些额外的工作。当我们把第一个倍数,比如7,加入到我们的列表中时,我们实际上不需要从14开始;因为它已经被2的倍数划掉了。而21是3的倍数,28是4(也是2)的倍数,35是5的倍数,42是6(也是2和3)的倍数。我们需要专门检查的第一个倍数是49。通常情况下,当我们添加一个素数p时,我们需要检查的第一个倍数是p ** 2。我们可以通过替换以下内容来修复它:
            C [2 * q] = [q]

这个:
            C [q * q] = [q]

我们可以像这样测试这个函数:
const iterator = sieve()

console.log(iterator.next()) //=> {value: 2, done: false}
console.log(iterator.next()) //=> {value: 3, done: false}
console.log(iterator.next()) //=> {value: 5, done: false}
console.log(iterator.next()) //=> {value: 7, done: false}
console.log(iterator.next()) //=> {value: 11, done: false}
console.log(iterator.next()) //=> {value: 13, done: false}

我们可以像Thankyou的答案中所示编写一个take函数。这可能是处理此问题的最佳方法。但是,我们还可以修改此函数以在n个结果后结束(“查找前n个质数”)或当值超过n时结束(“查找所有小于n的质数”)。
后者很简单:只需添加参数max并将我们对Infinity的使用替换为它即可。前者稍微困难一些。以下是其中一个版本:

const sieve = function * (count) {
    const C = {} // known composite numbers
    let n = 0
    let q = 2
    while (n < count) {
         if (C [q]) {
            C [q] .forEach (n => C [n + q] = [... (C [n + q] || []), n]  )
            delete C [q]
        } else {
            C [q * q] = [q]
            n += 1
            yield q
        }
        q += 1
    }
};

console .log ([... sieve(1000)])
.as-console-wrapper {max-height: 100% !important; top: 0}

从逻辑上讲,我们的复合内部数据结构不会是将整数映射到整数数组的对象。显然,最适合的结构应该是将整数映射到整数集合的Map。我们可以这样编写:

const sieve = function * (count) {
    const C = new Map () // known composite numbers
    let n = 0
    let q = 2
    while (n < count) {
        if (C .has (q)) {
            [... C .get (q)] .forEach (
              n => C .set (n + q, (C .get (n + q) || new Set ()) .add (n))
            )
            C .delete (q)
        } else {
            C .set (q * q, new Set ([q]))
            n += 1;
            yield q
        }
        q += 1
    }
};

由于某种原因,我觉得这种方式不如使用Object-Array更易读。我没有测试过性能,但如果这种方式显著快速(或慢),我会感到惊讶。但是它的工作方式是相同的。
这些都不是我通常的写作风格。虽然我们可能可以通过递归实现避免突变内部结构的方法,但并没有什么技巧跃然纸上。
关于这个版本的筛法及其相关复杂性的更多信息可以在 Melissa E. O'Neill 的精彩论文 The Genuine Sieve of Eratosthenes 中找到。 这篇论文是学术性的,但仍然很容易阅读。 如果你能够阅读 Haskell,那么理解起来应该很容易。

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我喜欢这个实现。解释很清楚,性能也非常强大,哈哈 :D - Mulan
@WillNess:没错。这就是我在答案中提到的文章的重点。也许有一天我会尝试使用你的版本。显然,上面的技术使用的内存略低于已经看到的质数数量的线性。我知道如何实现轮子,而你的代码为如何实现你的延迟版本提供了一个示例。但我仍然对你的算法的空间和时间复杂度很好奇。它与上述算法相比是否大幅减少? - Scott Sauyet
不会改变复杂性,但有点流畅。 :) /end ---(啊,你的意思是文章的重点是性能很差。没错,但它没有解释为什么它如此糟糕,即二次方级别,而通过延迟处理大约是n^1.5级别;在实践中,这意味着巨大的加速和无堆栈溢出) - Will Ness
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嗯嗯,度假时间到了。:) 祝你旅途愉快!(如果你想开始,请点击这里)。 - Will Ness
如果你还没有因为某些原因研究过这个问题,一个能够实现这个技巧的工作中的JS代码在这里 - Will Ness
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递归很有趣!让我们看看如何通过想象一个emptyStream、创建新的streamfilter流的能力来计算质数 -

import { stream, emptyStream, filter } from "./Stream"

const numbers = (n = 0) =>
  stream(n, _ => numbers(n + 1))

const sieve = (t = numbers(2)) =>
  t === emptyStream
    ? t
    : stream
        ( t.value
        , _ =>
            sieve
              ( filter
                  ( t.next
                  , v => v % t.value !== 0
                  )
              )
        )


这种技术被称为“埃拉托斯特尼筛法”。使用额外的流函数,我们将“取出”前1,000个项目并将结果“转换为数组”-
import { take, toArray } from "./Stream"

const result = 
  toArray(take(sieve(), 1000))
  
console.log(JSON.stringify(result))
// [2,3,5,7,11,13,17,19,23, ... ,7901,7907,7919]

你可以根据自己的喜好实现Stream。这里是一种可能的实现方式 -
// Stream.js

const emptyStream =
  Symbol('emptyStream')

const stream = (value, next) =>
  ( { value
    , get next ()
      { delete this.next
      ; return this.next = next()
      }
    }
  )

const filter = (t = emptyStream, f = identity) =>
  t === emptyStream
    ? t
: Boolean(f(t.value))
    ? stream
        ( t.value
        , _ => filter(t.next, f)
        )
: filter(t.next, f)

const take = (t = emptyStream, n = 0) =>
  t === emptyStream || n <= 0
    ? emptyStream
    : stream(t.value, _ => take(t.next, n - 1))
    
const toArray = (t = emptyStream) =>
  t === emptyStream
    ? []
    : [ t.value, ...toArray(t.next) ]

export { emptyStream, stream, filter, take, toArray }

点击下面的代码片段,在您的浏览器中计算前1000个质数 -

// Stream.js
const emptyStream =
  Symbol('emptyStream')

const stream = (value, next) =>
  ( { value
    , get next ()
      { delete this.next
      ; return this.next = next()
      }
    }
  )
  
const filter = (t = emptyStream, f = identity) =>
  t === emptyStream
    ? t
: Boolean(f(t.value))
    ? stream
        ( t.value
        , _ => filter(t.next, f)
        )
: filter(t.next, f)

const take = (t = emptyStream, n = 0) =>
  t === emptyStream || n <= 0
    ? emptyStream
    : stream(t.value, _ => take(t.next, n - 1))
    
const toArray = (t = emptyStream) =>
  t === emptyStream
    ? []
    : [ t.value, ...toArray(t.next) ]

// Main.js
const numbers = (n = 0) =>
  stream(n, _ => numbers(n + 1))

const sieve = (t = numbers(2)) =>
  t === emptyStream
    ? t
    : stream
        ( t.value
        , _ =>
            sieve
              ( filter
                  ( t.next
                  , v => v % t.value !== 0
                  )
              )
        )

const result = 
  toArray(take(sieve(), 1000))
  
document.body.textContent = result.join(", ")

输出

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919

上一个程序是否溢出了您的堆栈?没问题,因为我们使用了一个模块,我们的流被一个抽象屏障分离。这使我们能够对Stream进行更改,而不影响我们的Main模块。如果需要进行更大的计算,则可以修改犯规者以使用while循环。

// Stream.js

const emptyStream = //...

const stream = //...

const take = // ...

function filter (t = emptyStream, f = identity)
{ while (t !== emptyStream)
    if (Boolean(f(t.value)))
      return stream
        ( t.value
        , _ => filter(t.next, f)
        )
    else
      t = t.next      // <-- advance stream t without recursion
  return t
}

function toArray (t = emptyStream)
{ let r = []
  while (t !== emptyStream)
    ( r.push(t.value)
    , t = t.next      // <-- advance stream t without recursion
    )
  return r
}

这是一种惊人的技术。它非常高效。我以前从未见过这样的技术。谢谢。 - Woody P Lucas
@Poutrathor:Thankyou的代码布局很不寻常,但如果你花时间研究它,你可能会意识到它是相当合理的。在查看此版本时,请记住streamtakeemptyStreamtoArraynumbers都应被视为基础设施。filter也是如此,但它需要针对问题进行调查。关键函数在于sieve。如果你理解了它,一切都应该水到渠成。 - Scott Sauyet
1
@ScottSauyet 嗯,我没想到 FF 会这么快就溢出了。我添加了一个替代实现的 Stream.filterStream.toArray,可能会有所帮助。感谢您的评论 :) - Mulan
1
要真正成为 Eratosthenes 筛法,它应该使用类似 filter_multiples(t.next, t.value, t.value + t.value) 的东西来实现(或者使用 t.value * t.value,但会有进一步的影响...)。 - Will Ness
1
是的,简化版。与这里进行比较。我心中所想的筛选器就像这里一样。还可以参考这个这个 - Will Ness
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