一个可能赢得比赛的算法

Question

我正在为考试做准备，遇到了这个问题：

我们有n个队伍，他们两两之间比赛两次。每场比赛都没有平局。获胜最多的队伍将被宣布为获胜者（可能不止一个）。设计一个算法，可以根据某些初始比赛结果检查某个团队在本次比赛中是否还有机会成为获胜者。

我不知道该如何解决这个问题。这个问题被归类为“流和匹配”，但我不知道如何将其作为最大流问题来解决。

- xan

Answer 1

假设我们希望A队获胜。

显然，如果A队赢得所有比赛，那么这给了我们一个目标分数。现在，我们可以计算每个其他队伍必须遭受多少次失败才能让A队总体获胜。

问题在于，我们只能从每个剩余比赛中获得最多1个失败者。因此，我们需要确定如何将团队与比赛匹配，其中每场比赛对应于特定团队在特定比赛中失败。

这基本上是团队和比赛之间的二分图匹配，但我们也可以通过额外的源节点和汇节点使用最大流来解决它。

1. 为每个团队创建一个源节点，容量等于该团队必须拥有的失败次数。
2. 从涉及该团队的每个剩余比赛中创建一条边（容量为无限）
3. 从每个剩余比赛到汇节点创建一条边，容量等于该比赛要进行的次数。（即如果B对C的比赛仍需进行2次，则容量为2）

然后，如果您可以从源到汇构建有效的流，并达到容量（在每个源到团队边缘上），则已经证明仍然有可能让A队获胜。

- Peter de Rivaz

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太棒了！谢谢。 - xan