如何将圆上的坐标转换为正方形上的坐标？

Question

我目前正在开发一个LBP2游戏，需要修改控制器输入方式。这个问题：如何将正方形坐标转换为圆形坐标？ 对我非常有帮助，但我还有一个问题。我需要给出与他们所提供的相反函数。他们从正方形到圆形，我尝试搜索如何将圆映射到正方形。

先前问题中给出的函数是：

xCircle = xSquare * sqrt(1 - 0.5*ySquare^2) yCircle = ySquare * sqrt(1 - 0.5*xSquare^2)

来自将正方形映射到圆形 我的问题是：给定xCircle和yCircle...我怎样才能找到xSquare和ySquare？

我尝试了我所知道的所有代数，填了两页笔记，试图让沃尔夫拉姆阿尔法得到反函数，但这个问题超出了我的能力范围。

谢谢您的查看。

- jgawrych

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Wolfram Alpha 说： - YXD

相关：http://math.stackexchange.com/questions/103660/homeomorphism-from-square-to-unit-circle，http://www.flickr.com/photos/sbprzd/362529354/，http://www.mathworks.com/matlabcentral/newsreader/view_thread/144703 - Ray Tayek

Answer 1

=½√(2+u²−v²+2u√2)−½√(2+u²−v²−2u√2) =½√(2−u²+v²+2v√2)−½√(2−u²+v²−2v√2)

注：我使用x = xSquare，y = ySquare，u = xCircle和v = yCircle; 即(u，v)是圆盘坐标，(x，y)是方形坐标。

有关方程的C++实现，转到http://squircular.blogspot.com/2015/09/mapping-circle-to-square.html

请参见http://squircular.blogspot.com以获取更多示例图像。 另请参见http://arxiv.org/abs/1509.06344进行证明/推导。

此映射是以下映射的反向操作

=x√(1-½y²) =y√(1-½x²)

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附：映射并不唯一。还有其他映射。下面的图片说明了映射的非唯一性。

- Ch Fong

Answer 2

如果您有 xCircle 和 yCircle，那意味着您在一个半径为 R = sqrt(xCircle^2 + yCircle^2) 的圆上。现在您需要将该圆扩展到一个半边长为 R 的正方形。

if (xCircle < yCircle)
     ySquare = R, xSquare = xCircle * R/yCircle
else
     xSquare = R, ySquare = yCircle * R/xCircle

这是针对第一象限的，对于其他象限，您需要通过对符号进行一些微小的调整。

- panda-34

Answer 3

有很多方法可以做到这一点；这里是一种简单的方法。

想象一个以原点为中心，半径为R的圆和一个以原点为中心，边长为2R的正方形，我们希望将圆内和圆周上的所有点（坐标为(x,y)）映射到正方形内和边界上的点。请注意，我们还可以使用极坐标(r, ø)（应该是phi）来描述圆内的点，其中

x = r cos ø，
y = r sin ø

（即r^2 = x^2 + y^2且r <= 1）。然后想象其他坐标x' = a(ø) x = a(ø) r cos ø和y' = a(ø) y（即，我们决定a不会依赖于r）。

为了将圆的边界（r = 1）映射到正方形的边界（x' = R），我们必须满足，在 ø < 45deg 的情况下，x' = a(ø) R cos ø = R，因此我们必须有 a(ø) = 1/cos ø。同样地，在 45 < ø < 90 的区域内，我们必须将圆的边界映射到 y' = R，从而在该区域内给出 a(ø) = 1/sin ø。继续沿着圆走，我们可以看到 a(ø) 必须始终为正数，因此从圆到正方形的最终映射为：

x' = a(ø) x,
y' = a(ø) y

其中

ø = |arctan y/x| = arctan |y/x|

并且

当 ø ≤ 45 度（即当 x < y 时），a(ø) = 1/cos ø，而当 ø > 45 度时，a(ø) = 1/sin ø。

这立即给出了另一个方向的映射。如果您在正方形上有坐标为 (x', y')（其中 x' <= R 并且 y' <= R），则 x = x'/a(ø) y = y'/a(ø) 其中 a(ø) 如上所述。

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一个更简单的映射方式是计算圆上所需位置的 (r, ø)，并将其映射到 x' = r 和 y' = ø。这也将圆上的每个点映射到矩形中，反之亦然，并且可能具有更好的属性，具体取决于您想要做什么。

因此，真正的问题是：您实际上想在这里做什么？

- Norman Gray

Answer 4

我正在实现上面的解决方案，但结果并不令人满意。正方形坐标不是精确的。

这里是一个简单的反例:

• 考虑正方形上的点(x,y)=(0.75, 1)。
• 我们将它映射到圆上，得到(u,v)=(0.53, 0.85)。

• 应用上述表达式，我们得到新的正方形坐标

  (x',y')=(u/v,r)=(0.625543242, 1)，其中r=(u^2+v^2)^(1/2)。

这个点很接近，但不是预期的精确解。

我解决了一个根查找问题，以获得从正方形到圆的映射的反向表达式。你需要解决像上面那样的系统方程：

I) u = x*(1-y^2/2)^(1/2)
II) v = y*(1-x^2/2)^(1/2)

最终得到了8个根点作为解决方案。其中一个根点我已经实现到Excel-VBA中，下面我将在这里展示它，并且它运行得非常好。

' given the circle coordinates (u,v) caluclates the x coordinate on the square
Function circ2sqrX(u As Double, v As Double) As Double
    Dim r As Double, signX As Double, u2 As Double, v2 As Double, uuvv As Double, temp1 As Double
    u2 = u * u
    v2 = v * v
    r = Sqr(u2 + v2)
    signX = 1
    If v = 0 Or u = 0 Then
       circ2sqrX = u
       Exit Function
    End If
    If u < 0 Then
    signX = -1
    End If
    If Abs(u) = Abs(v) And r = 1 Then
       circ2sqrX = signX
       Exit Function
    End If
    uuvv = (u2 - v2) * (u2 - v2) / 4
    temp1 = 2 * Sqr(uuvv - u2 - v2 + 1)
    circ2sqrX = -((temp1 - u2 + v2 - 2) * Sqr(temp1 + u2 - v2 + 2)) / (4 * u)
End Function

' given the circle coordinates (u,v) caluclates the y coordinate on the square
' make use of symetrie property
Function circ2sqrY(u As Double, v As Double) As Double
    circ2sqrY=circ2sqrX(v,u)
End Function

- Maybe