如何测试一个数的平方根是否为有理数？
这真的可能吗？
我需要知道这个原因是因为我正在开发一款数学应用程序，需要确定是否将数字显示为整根式。
5个回答
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对于整数输入，只有平方数的平方根是有理数。 因此，您的问题归结为确定您的数字是否为完全平方数。比较以下问题：如何确定输入是否为完全平方数的好算法？
如果您有有理数作为输入（即，以两个整数之比给出的数字），请检查除数和被除数是否都是完全平方数。
对于浮点值，可能没有解决方案，因为您无法使用截断的十进制表示来检查数字是否为有理数。
对于浮点值，可能没有解决方案，因为您无法使用截断的十进制表示来检查数字是否为有理数。
- thiton
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所有有限浮点数都是有理数。不需要进行任何检查。 - Stephen Canon
@StephenCanon：但是每个数都代表着无限数量的有理数和无理数，它们都具有相同的有限浮点表示。 - thiton
@thiton：不，每个数字都精确地代表一个有理数。其他数字会被四舍五入到最接近的可表示值。你会说整数3“代表”3.2吗？因为如果我写
int x = 3.2，实际上我得到的是x == 3。 - Stephen Canon2
阅读评论和另一个问题的答案后，我意识到问题源自浮点数不准确性，这意味着在程序末尾，某些值（例如0.01）会通不过逻辑测试。我已将其改为使用NSDecimalNumber变量。
double num, originalnum, multiplier;
int a;
NSLog(@"Enter a number");
scanf("%lf", &num);
//keep a copy of the original number
originalnum = num;
//increases the number until it is an integer, and stores the amount of times it does it in a
for (a=1; fmod(num, 1) != 0 ; a++) {
num *= 10;
}
a--;
//when square-rooted the decimal points have to be added back in
multiplier = pow(10, (a/2));
if (fmod(originalnum, 1) != 0) {
multiplier = 10;
}
NSDecimalNumber *temp = [NSDecimalNumber decimalNumberWithDecimal:[[NSNumber numberWithDouble:sqrt(num)/multiplier] decimalValue]];
NSDecimalNumber *result = [temp decimalNumberByMultiplyingBy:temp];
NSDecimalNumber *originum = [NSDecimalNumber decimalNumberWithDecimal:[[NSNumber numberWithDouble:originalnum] decimalValue]];
if ((fmod(sqrt(num), 1) == 0) && ([result isEqualToNumber:originum])) {
NSLog(@"The square root of %g is %@", originalnum, temp);
}
else {
NSLog(@"The square root of this number is irrational");
}
- Luke Pullman
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-1 用 1f/3f 平方、0.1f 平方、0.101f 平方测试此算法会得到“该数的平方根为无理数”的结果。你需要将分子和分母精确表示为整数，并测试它们是否为精确平方数。 - Pete Kirkham
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如果你正在处理整数，需要注意的是，正整数有一个有理平方根当且仅当它有一个整数平方根，也就是说，如果它是一个完全平方数。关于如何测试这一点，请参见这个 StackOverflow 问题。
- AakashM
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在https://math.stackexchange.com/上，有一个问题什么有理数有有理数平方根？，得到了Jakube的答案，其中指出对于“...有理数，一个答案是确定分子和分母是否为2的整数次幂。”
确定自然数是否为完全平方数的好方法取决于函数支持的自然数（以及使用的计算机编程语言）和可用的内存等。以下是一组有用的链接：
- https://math.stackexchange.com/questions/3431150/is-there-a-way-to-check-if-an-integer-is-a-square
- https://codereview.stackexchange.com/questions/204974/fastest-way-to-determine-if-a-number-is-perfect-square
- Fastest way to determine if an integer's square root is an integer
- Check if BigInteger is not a perfect square
我使用Java开发并测试了一个解决方案，它对一组自然数运行良好。以下是其要点。此代码依赖于BigMath，并在agdt-java-math中实现，尽管在几个不同的类中：
/**
* @param x The number to return the square root of (if the result is
* rational).
* @return The square root of x if that square root is rational and
* {@code null} otherwise.
*/
public static BigRational getSqrtRational(BigRational x) {
BigInteger[] numden = getNumeratorAndDenominator(x);
BigInteger nums = getPerfectSquareRoot(numden[0]);
if (nums != null) {
BigInteger dens = getPerfectSquareRoot(numden[1]);
if (dens != null) {
return BigRational.valueOf(nums).divide(BigRational.valueOf(dens));
}
}
return null;
}
/**
* @param x The value for which the numerator and denominator are returned.
* @return The numerator and denominator of {@code x}
*/
public static BigInteger[] getNumeratorAndDenominator(BigRational x) {
BigInteger[] r = new BigInteger[2];
r[0] = x.getNumeratorBigInteger();
r[1] = x.getDenominatorBigInteger();
if (Math_BigInteger.isDivisibleBy(r[0], r[1])) {
r[0] = r[0].divide(r[1]);
r[1] = BigInteger.ONE;
}
return r;
}
/**
* @param x The number to return the square root of if that is an integer.
* @return The square root of {@code x} if it is an integer and {@code null}
* otherwise.
*/
public static BigInteger getPerfectSquareRoot(BigInteger x) {
if (x.compareTo(BigInteger.ZERO) != 1) {
return null;
}
BigInteger xs = x.sqrt();
if (x.compareTo(xs.multiply(xs)) == 0) {
return xs;
}
return null;
}
由于任何有理数的平方都是有理数，因此没有任何有理数是无理数的平方根。在阅读了Yves answer to: Prove that the square root of any irrational number is irrational之后，我对此非常清楚。因此，只需处理有理数的情况即可回答所有实数的问题。
- Andy Turner
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原文链接
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n是完全平方数吗？”的答案只是“当且仅当sqrt（n）是整数”，这在程序上并没有太大帮助。 - AakashM