为什么 pow(-infinity, positive non-integer) 会等于 +infinity？

Question

C99附录F（IEEE浮点数支持）如下所述：

pow(−∞, y)在y > 0且不是奇整数的情况下返回+∞。

然而，例如(−∞)^0.5实际上具有虚数值±∞i，而不是+∞。 C99自己的sqrt(−∞)如预期的那样返回NaN并生成域错误。那么为什么pow要求返回+∞？

（大多数其他语言直接使用C库，或者像Python一样复制符合标准所需的行为，因此实际上这影响不仅仅是C99。）

- Chortos-2

---

我不确定你所说的“−∞^0.5 实际上是无穷大的虚数 ∞i”是什么意思，虚数从哪里来？ - Oliver Charlesworth

@OliCharlesworth 标准数学 - 对负数进行平方根运算将得到一个虚数。 - Alnitak

@Alnitak：我不确定像“∞i”这样的概念是否特别有意义... - Oliver Charlesworth

@Alnitak：嗯，标准的复分析有扩展复平面，它有一个无穷大的单一值... - Oliver Charlesworth

标准的C库不支持虚数。 - std''OrgnlDave

Answer 1

对于奇整数y，定义如下：

pow(±0, y) = ±0

毕竟，将数值用奇次幂运算，总是会保留其符号。如果可以保留零的符号，那我们就应该这样做。对于正的非整数y，我们应该定义：

pow(±0, y) = +0.

符号未定义。但是，我们不会将其设置为NaN，因为对于-0，与不将sqrt（-0）设置为NaN相同的原因是：这没有意义。（顺便说一句，这也是IEEE-754-2008标准第9.2.1节中定义的方式。）

由于1/±0 = ±∞，而数学上来说，

pow(x,y) = 1/pow(1/x,y)

在上述情况下，将x=±∞设定后，结果如下：

pow(±∞,y) = 1/pow(±0,y) = 1/+0 = +∞

对于正的非整数y。

- Jeffrey Sax

---

如果您认为(±1)/0 = ±∞，那么考虑“-0”是相同的实数“0”，会怎样呢？ - Heath Hunnicutt

@HeathHunnicutt (-inf)^(1/2) = (-1/0)^(1/2) = (-1)^(1/2)/0 = nan/0 = nan - Chortos-2

这将问题转移到“为什么需要-0？”嗯，一个原因是-0表示从下方的下溢。另一个原因是，复平面中的分支切割，按照传统的定义，与-0一起按预期工作。 - Jeffrey Sax

我仍然不同意关于 pow(−∞, y) 的标准（除了两个复数根之外还能得出正无穷大，这应该进一步支持将其定义为 NaN），但这解释了标准行为的来源（或可能来源）。谢谢！ - Chortos-2

+1，IEEE选择以这种方式定义pow对我来说并没有太多意义，但这是我看到的第一个比较合理的论点。 - R.. GitHub STOP HELPING ICE

@JeffreySax：我一直认为如果IEEE-754有正无穷小和负无穷小（我称之为ptiny和ntiny），以及无符号无穷小（utiny）和可能的“真”零，那么它会更加清晰。这将允许一致和对称地处理与零相关的公理（包括x + 0，0 + x和x等价）。唯一需要区分无符号无穷小和真零的情况是添加到有符号无穷小时。将ptiny添加到utiny应产生utiny，但ptiny + 0应产生ptiny。 - supercat